Окръжности

[Гост]

20230404_171847.jpg (499.77 KiB) Прегледано 392 пъти

[Евва]

а) Да означим [tex]\angle[/tex]ACN=[tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex] .
По условие дъгата AD= дъгата BD [tex]\Rightarrow[/tex] вписаният [tex]\angle[/tex]ACN =вписания [tex]\angle[/tex]NCB
т.е. [tex]\angle[/tex]NCB=[tex]\alpha[/tex] (1)

[tex]\angle[/tex]MNC е външен за [tex]\triangle[/tex]NBC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MNC =[tex]\angle[/tex]NCB+[tex]\angle[/tex]NBC ; [tex]\angle[/tex]MNC =[tex]\alpha+ \beta[/tex] (2)

периф.[tex]\angle[/tex]MCA =[tex]\frac{\widehat{CA}}{2}[/tex] и впис.[tex]\angle[/tex]ABC =[tex]\frac{\widehat{CA}}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MCA=[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex] (3)

[tex]\angle[/tex]MCN=[tex]\angle[/tex]MCA+[tex]\angle[/tex]ACN ; [tex]\angle[/tex]MCN=[tex]\beta + \alpha[/tex] (4)

От (2) и (4) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]MNC е равнобедрен с основа NC [tex]\Rightarrow[/tex] бедрата MC и MN са равни .

[Евва]

б) Според нашите означения [tex]\beta[/tex] =[tex]\angle[/tex]MCA=20[tex]^\circ[/tex] и [tex]\alpha + \beta[/tex]=[tex]\angle[/tex]MNC=[tex]\angle[/tex]ANC =50[tex]^\circ[/tex] .
Намираме [tex]\alpha[/tex] =30[tex]^\circ[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]PBC ,за който лесно се доказва ,че [tex]\angle[/tex]PBA=[tex]\alpha[/tex] =30[tex]^\circ[/tex] .

[tex]\angle[/tex]CPB+[tex]\angle[/tex]PBC+[tex]\angle[/tex]BCP=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]CPB +([tex]\alpha+ \beta[/tex]) +([tex]\alpha + \alpha )[/tex] =180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]CPB+ 3.30[tex]^\circ[/tex]+20[tex]^\circ[/tex] =180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]CPB =70[tex]^\circ[/tex]