Средна отсечка

[Гост]

Точка М е средата на страната АС на триъгълник АВС(ъгъл В=90 градуса), точка N лежи на страната ВС, като АВ=16ст. и MN=8ст. Вярно ли е, че MN е средна отсечка в триъгълник АВС?

[ammornil]

Screenshot 2023-04-17 114325.png (11.43 KiB) Прегледано 560 пъти

[tex]\triangle{ABC}; \angle{ABC}=90^{\circ}; AB=16[cm]; M\in AC; AM=CM; N \in BC; MN=8[cm][/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\frac{CM}{CA}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2} \Rightarrow \triangle{CMN} \sim \triangle{CAB} \Rightarrow \frac{CN}{CB}=\frac{1}{2} \Rightarrow CN=NB \Rightarrow MN \text{ е средна отсчека в } \triangle{ABC}[/tex]

[Гост]

△CMN∼△CAB какво означава това?

[pal702004]

Не съм съгласен с доказателството по-горе.
1. Отношението на две от страните все още не е доказателство за подобие - трябва и ъгъл.
2. Не се използва че триъгълника е правоъгълен, което е важно.

На първо четене бих предложил следното:
1. Да начертаем средната отсечка $MM_1,\; M_1 \in BC$

По определение $ММ_1=8, ММ_1 \bot BC$ и следователно 8 е най-краткото разстояние от т.М до правата $BC$. И се достига в една единствена точка - т. $M_1$. Следователно $M_1$ съвпада с $N$.

Ако [tex]\angle B \ne 90^{\circ }[/tex], то окръжност в център т.М и радиус 8 ще пресече правата $BC$ в две точки - едната от които е среда на $BC$, а другата...?

[S.B.]

Точка М е средата на страната АС на триъгълник АВС(ъгъл В=90 градуса), точка N лежи на страната ВС, като АВ=16ст. и MN=8ст. Вярно ли е, че MN е средна отсечка в триъгълник АВС?

По определение :
Отсечка,която съединява две от страните на триъгълник,се нарича средна отсечка в триъгълника

ТЕОРЕМА :
Всяка средна отсечка в триъгълник е успоредна на срещуположната страна и е равна на половината от нея

T.e. от това,че $MN = 8 , AB = 16$ не следва,че $MN$ е средна отсечка в [tex]\triangle ABC[/tex]
За да бъде $MN$ средна отсечка в [tex]\triangle ABC[/tex], трябва да се докаже,че т.$N$ е среда на $BC$,което аз не успях да докажа.

[Гост]

Теорема: Права, която минава през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на друга негова страна пресича третата страна в нейната среда.

[S.B.]

Теорема: Права, която минава през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на друга негова страна пресича третата страна в нейната среда.

Това е така,но никъде не е казано,че [tex]MN[/tex] е успоредна на [tex]AB[/tex]
Опитах се да го докажа,но не успях.
Може би успехът ще бъде на Ваша страна!

[Гост]

МN и ВА-перпендикулярни на СВ, следователно са успоредни.

[Гост]

МN нали доказахме, че е средна отсечка от това не следва ли, че е успоредна на АВ.

[Гост]

МN и ВА-перпендикулярни на СВ, следователно са успоредни.

Къде е казано,че [tex]MN \bot BC[/tex]?

[Гост]

МN нали доказахме, че е средна отсечка от това не следва ли, че е успоредна на АВ.

Къде го доказахме?

[Гост]

Коментара в зелено.

[S.B.]

Точка М е средата на страната АС на триъгълник АВС(ъгъл В=90 градуса), точка N лежи на страната ВС, като АВ=16ст. и MN=8ст. Вярно ли е, че MN е средна отсечка в триъгълник АВС?

Без заглавие - 2023-04-18T064017.820.png (171.09 KiB) Прегледано 498 пъти

Хубаво е когато човек "преспи " с проблема,който не е успял да разреши!

Построявам права [tex]l \begin{cases} l z M\\ l || AB \\l \cap BC = N_{1 } \ne N\end{cases}[/tex]
Според ТЕОРЕМА щом $M$ е среда на $AC$ и $l || AB$ то [tex]N_{1 }[/tex] е среда на $BC$ [tex]\Rightarrow M N_{1 }[/tex] е средна отсечка
[tex]\Rightarrow M N_{1 } = \frac{AB}{2} = 8[/tex]
[tex]MN_{1 } || AB \Rightarrow \angle M N_{1 }C = 90 ^\circ[/tex]
Тогава [tex]\triangle M N_{1 }N[/tex] е правоъгълен , с хипотенуза $MN = 8$ и катет [tex]М N_{1 } = 8[/tex], което е невъзможно и противоречи на твърдението,че [tex]N_{1 } \ne N[/tex]
[tex]\Rightarrow N_{1 } \equiv N[/tex] и т. $N$ е среда на $BC$ [tex]\Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle ABC[/tex]