Триъгълник

[Гост]

Докажете че, медианите в триъгълник го делят на 6 равнолицеви триъгълника.

[S.B.]

Докажете че, медианите в триъгълник го делят на 6 равнолицеви триъгълника.

Без заглавие - 2023-04-22T183546.921.png (297.21 KiB) Прегледано 488 пъти

1)
Първоначално ще докажем,че медианата разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника:


[tex]S_{ \triangle ABC } = \frac{AB.CH}{2}[/tex]

$CM$ е медиана в [tex]\triangle ABC \Rightarrow AM = BM = \frac{AB}{2}[/tex]

[tex]S_{ \triangle AMC } = \frac{AM.CH}{2} = \frac{1}{2} \frac{AB}{2}.CH = \frac{1}{2} \frac{AB.CH}{2} = \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC }[/tex]

[tex]S_{ \triangle MBC} = \frac{MB.CH}{2} = \frac{1}{2} . \frac{AB}{2}.CH = \frac{1}{2} \frac{AB.CH}{2}= \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ \triangle AMC } = S_{ \triangle BMC} = \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC} $$
2)
Нека [tex]AA_{1 }, B B_{1 } , C C_{1 }[/tex] са медиани в [tex]\triangle ABC[/tex], а $G$ е медицентър
Ще докажем , че те разделят [tex]\triangle ABC[/tex] на 6 равнолицеви триъгълника.
За [tex]\triangle AGB[/tex] е изпълнено,че [tex]A C_{1 } = B C_{1 } \Rightarrow G C_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow S_{ \triangle A C_{1 }G } = S_{ \triangle B C_{1 }G } = S_{1 }[/tex]
За [tex]\triangle BCG[/tex] е изпълнено,че [tex]B A_{1 } = C A_{1 } \Rightarrow G A_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow S_{ \triangle B A_{1 }G } = S_{ \triangle C A_{1 }G } = S_{2 }[/tex]
За [tex]\triangle ACG[/tex] е изпълнено,че [tex]AB_{1 } = C B_{1 } \Rightarrow G B_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow S_{ \triangle A B_{1 }G } = S_{ \triangle C B_{1 }G } = S_{3 }[/tex]

[tex]CC_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow S_{ \triangle AC C_{1 } } = S_{ \triangle BC C_{1 } }= \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} S_{1 } + 2 S_{3 } = \displaystyle \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC } \\ S_{1 } + 2 S_{2 } = \displaystyle\frac{1}{2} S_{ \triangle ABC} \end{array} \Leftrightarrow S_{2 } = S_{3 }[/tex]

[tex]AA_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow S_{ \triangle BA A_{1 } } = S_{ \triangle CA A_{1 } }= \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} S_{2 } + 2 S_{1 } = \displaystyle\frac{1}{2} S_{ \triangle ABC} \\ S_{2 } + 2 S_{3 } = \displaystyle \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC} \end{array} \Rightarrow S_{1 } = S_{3 }[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{2 } = S_{3 } \\ S_{1 } = S_{3 } \end{cases} \Rightarrow S_{1 }= S_{2 } = S_{3 } = S[/tex]
Тогава [tex]S_{ \triangle AC C_{1 } } = S_{ \triangle BC C_{1 } } = 3S \Leftrightarrow 3S = \frac{1}{2} S_{ \triangle ABC}[/tex]
$$\Rightarrow S = \frac{1}{6}S_{ \triangle ABC} $$
Или [tex]\triangle ABC[/tex] се разделя от медианите на 6 триъгълника,всеки от които има лице [tex]\frac{1}{6}[/tex] от лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]

[Гост]

Приложима ли е лемата на Р. Симеонов? Ако да - то защо? Ако не - то добре!

[Гост]

Коя програма за чертане използваъе?

[S.B.]

Коя програма за чертане използваъе?

Чертая с GeoGebra

[Гост]

Как правите височините?

[S.B.]

Как правите височините?

Използвам опцията "перпендикуляр от точка към права"
Понякога ,за по-голяма прецизност чертая отсечка,която се "вижда" под ъгъл [tex]90 ^\circ[/tex]
Зависи какво искам да постигна.
Трябва да знаете,че GeoGebra не чертае сама.Вие трябва да сте наясно с геометричните задачи за построение.

[Гост]

Може ли да изпратите екранна снимка на менюто от което извикате тази функция. Благодаря!

[ammornil]

Може ли да изпратите екранна снимка на менюто от което извикате тази функция. Благодаря!

Моля за извинение ако се намесвам не на място...

Скрит текст: покажи

Screenshot 2023-04-24 145214.png (52.28 KiB) Прегледано 423 пъти

А както е посочила колежката по-горе, ако построите окръжност с диаметър дадена отсечка, то всяка точка от окръжността, свързана с краищата на отсечката определя правоъгълен триъгълник с хипотенуза дадената отсечка.

[Гост]

Когато го използвам ми прави цялата права и не ми дава да оставя само отсечката която ми трябва. Какво да направя?

[ammornil]

Когато го използвам ми прави цялата права и не ми дава да оставя само отсечката която ми трябва. Какво да направя?

Начертайте отсечката от правата, така като искате да остане и после скрийте правата.

[S.B.]

Когато го използвам ми прави цялата права и не ми дава да оставя само отсечката която ми трябва. Какво да направя?

Без заглавие - 2023-04-24T185733.508.png (348.16 KiB) Прегледано 412 пъти

Съветвам те добре да разгледаш всички опции на GeoGebra.Всичко се научава в процес на работа на принципа "проба - грешка".
Опитвай ги наред - само така ще се научиш да чертаеш.Аз се упражнявам от 2019 година и не мога да кажа,че всичко съм изпробвала.Трябва ти "ПРОБЛЕМ" , "КОМПЮТЪР" и "СОФТУЕР".Имаш ги!Остава само желание и търпение от твоя страна!Успех!

[nikola.topalov]

Аз пък имам въпрос от естетическа гледна точка. По принцип като използвам GeoGebra чертежите излизат някакси по-скучни от Вашите. Тези, които Вие качвате, безспорно са много изчистени и хубави. Да няма някаква специална опция за естетизиране, за която не знам?

[S.B.]

Аз пък имам въпрос от естетическа гледна точка. По принцип като използвам GeoGebra чертежите излизат някакси по-скучни от Вашите. Тези, които Вие качвате, безспорно са много изчистени и хубави. Да няма някаква специална опция за естетизиране, за която не знам?

Не зная защо...Може би защото някога исках да бъда архитект,но не се осъществи.Ходех на уроци по рисуване , учех се да рисувам "перспектива", капитоли на колони (гипс) ...Може би нещо ми е останало в главата от тогава...,кой знае!

[Гост]

Много благодаря!