Вписана окръжност

[Гост]

20230507_163720.jpg (371.65 KiB) Прегледано 382 пъти

[Гост]

Отговорът 75,75,30 ли е?

[Гост]

Отговорът 75,75,30 ли е?

Да

[ammornil]

Screenshot 2023-05-07 172359.png (30.92 KiB) Прегледано 366 пъти

Радиусите в точките на допиране са перпендикулярни на страните на триъгълника.
Центърът на вписаната окръжност е пресечанта точка на ъглополовящите.
Точките [tex]E[/tex] и [tex]D[/tex] са избрани за описване на дъги от вписаната окръжност и нямат специално избрано положение. За удобство може да се изберат като пресечни точки на съответните ъглополовящи с окръжността, но не е задължително за решението.
[tex]\angle{MBI}=\angle{IBC}=\frac{1}{2}\cdot{\angle{ABC}}=15^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle{IBN} \rightarrow \begin{cases} \angle{IBN}=15^{\circ} \\ \angle{INB}=90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BIN}=75^{\circ}[/tex]
[tex]\angle{NIC}=\angle{BIC}-\angle{BIN}=105^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle{INC} \rightarrow \begin{cases} \angle{BIN}=305^{\circ} \\ \angle{INC}=90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{NCI}=60^{\circ}[/tex]
[tex]CI \text{ ъглополовяща} \Rightarrow \angle{NCI}=\angle{ICP}=60^{\circ} \Rightarrow \angle{ACB}=120^{\circ}[/tex]
[tex]\angle{CAB}=180^{\circ}-\angle{ACB}-\angle{ABC}=30^{\circ} \Rightarrow \triangle{ABC} \text{- равнобедрен} \Rightarrow CM=h_{C}, m_{C}, l_{C} \Rightarrow I \in CM[/tex]
[tex]\triangle{BIN} \cong \triangle{BIM} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ BI \text{ обща} \\ IN=IM=r \end{cases} \Rightarrow \angle{NIB}=\angle{MIB}=75^{\circ} \Rightarrow \angle{MIN}=150^{\circ}[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{MEN}=150^{\circ} \text{ дъга определена от дентрален ъгъл } \angle{MIN}[/tex]
Аналогично, огледално [tex]\angle{PIM}=150^{\circ} \Rightarrow \widehat{MDP}=150^{\circ}[/tex]
[tex]\widehat{PN}=360^{\circ}- \widehat{MEN}-\widehat{MDP}=60^{\circ} \Rightarrow \angle{PMN}=\frac{1}{2}\cdot{\widehat{PN}}=30^{\circ}[/tex]
[tex]\angle{MPN}=\frac{1}{2}\cdot{\widehat{MEN}}=75^{\circ}; \hspace{2em} \angle{MNP}=\frac{1}{2}\cdot{\widehat{MDP}}=75^{\circ}[/tex]