Може ли малко помощ?

[Гост]

Screenshot_20230513-201243_Gallery.jpg (78.92 KiB) Прегледано 372 пъти

[ammornil]

[tex]\triangle{ABC}; \hspace{1.2em} AC=BC; \hspace{1.2em} k(I, r); \hspace{1.2em} \begin{cases} M \in AB \\ M \in k \end{cases}; \hspace{1.2em} \begin{cases} N \in BC \\ N \in k \end{cases}; \hspace{1.2em} \begin{cases} P \in AC \\ P \in k \end{cases}[/tex]
Да се докаже, че [tex]MN = MP[/tex].
(а) Ако [tex]AC=2\cdot{AB}=8\>cm[/tex] да се намерят дължините на отсечките [tex]AM, BM, BN, CN, CP, AP[/tex].
(б) Ако [tex]\angle{ACB}=40^{\circ}[/tex] да се намери големината на [tex]\angle{MPN}[/tex].

Screenshot 2023-05-14 105319.png (24.55 KiB) Прегледано 349 пъти

[tex][/tex]
Понеже [tex]AM[/tex] и [tex]AP[/tex] са допирателни от външна точка до окръжността, те са равни. Следователно [tex]AM=AP[/tex], Аналогично [tex]BM=BN[/tex] и [tex]CN=CP[/tex]
Понеже [tex]\triangle{ABC}[/tex] е равнобедрен, центърът на вписаната окръжност лежи на ъглополовящата на ъгъла при върха между бедрата. Тази ъглополовяща е и височина, и медиана, следователно перпендикулярът от точка [tex]I[/tex] към [tex]AB[/tex] я пересича точно в средата на отсечката. [tex]\Rightarrow AM=BM \Rightarrow AP=AM=BM=BN=\frac{AB}{2}[/tex].
Понеже [tex]\triangle{ABC}[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow \angle{BAC}=\angle{ABC}[/tex].
[tex]\begin{cases} AP=BN \\ AM=BM \\ \angle{MAP}=\angle{MBN} \end{cases} \Rightarrow \triangle{MAP} \cong \triangle{MBN} \Rightarrow MP=MN[/tex]

(a) [tex]AB=\frac{AC}{2}=\cdots[/tex]
[tex]AM=AP=BM=BN=\frac{AB}{2}=\cdots[/tex]
[tex]CP=CN=AC-AP=\cdots[/tex]

(б)
[tex]\triangle{ABC}, \hspace{1.2em} \angle{ABC}=\angle{BAC}=\alpha; \hspace{1.2em} \angle{ACB}=\gamma; \hspace{1.2em} \alpha+\alpha+\gamma=180^{\circ}[/tex]
[tex]\gamma=40^{\circ} \Rightarrow 2\cdot{\alpha}=180^{\circ}-40^{\circ} \Leftrightarrow \alpha=70^{\circ}[/tex]
Нека дъгата [tex]MN[/tex], която не съдържа [tex]P[/tex] е [tex]\widehat{MN}=v[/tex], тогава дъгата [tex]\widehat{MPN}=360^{\circ}-v[/tex].
[tex]\angle{MBN}=\frac{\widehat{MPN}-\widehat{MN}}{2} \Leftrightarrow 2\cdot{\angle{MBN}}= \widehat{MPN}-\widehat{MN} \Leftrightarrow 2\cdot{70^{\circ}}=360^{\circ}-v-v \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\cdot{v}=360^{\circ}-140^{\circ} \Leftrightarrow v=\frac{220}{2}=110^{\circ}[/tex]
$$ \angle{MPN} \text{ вписан } \Rightarrow \angle{MPN}=\frac{\widehat{MN}}{2}=\cdots$$