Задача

[Гост]

Някой може ли да ми помогне със следната задача:

[ammornil]

Някой може ли да ми помогне със следната задача:

Можете ли да ми кажете за кой клас и в кое учебно заведение е тази задача?
Многочленът няма рационални корени.

Скрит текст: покажи

Ако приложим Нютън-Рафсън с начална апроксимация спрямо [tex]x_{0}=0[/tex]
[tex]f(x)=x^{4}-10x^{3}+26x^{2}-10x+1=0, \hspace{3em} f'(x)=4x^{3}-30x^{2}+52x-10[/tex]

(в търсене на [tex]x_{1}...[/tex])
[tex]x_{a}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}, f(0)=1, f'(0)=-10[/tex]
първо повторение: [tex]x_{a}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=0-\frac{1}{-10}=0.1 \rightarrow f(0,1)=0,2501 >> 0, f'(0.1)=-5,096, x_{0}=0,1[/tex]
второ повторение: [tex]x_{a}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=0,1-\frac{0,2501}{-5,096}\approx 0,149077708 \rightarrow f(0,149077708)\approx 0,054413799 >> 0, f'(0,149077708)\approx -2,90143565, x_{0}=0,149077708[/tex]
...

Screenshot 2023-05-19 175313.png (19.31 KiB) Прегледано 343 пъти

СЛЕД ОСЕМ ПОВТОРЕНИЯ получаваме сходимост и можем да приемем, че $$ x_{1}\approx 0,171572875$$

Делим [tex]x^{4}-10x^{3}+26x^{2}-10x+1[/tex] почленно на [tex]x-0,171572875[/tex] и получаваме нещо като [tex]g(x)=x^{3}-9,82842x^{2}+24,3137x-5.82842[/tex]
[tex]g'(x)=3x^{2}-19,65684x+24,3137[/tex]

Screenshot 2023-05-19 180756.png (13.87 KiB) Прегледано 343 пъти

СЛЕД ШЕСТ БОЛЕЗНЕНИ ПОВТОРЕНИЯ получаваме сходимост и можем да приемем, че $$ x_{2}\approx 0,267948914$$
След това делим отново и получаваме частно квадратен тричлен [tex]x^{2}-9,56047x+21,75198[/tex], който можем да решим с формула и намираме оставащите корени.
$$ x_{3}\approx 3,73205; \hspace{3em} x_{4}\approx 5,82842 $$

[Евва]

Това е реципрочно уравнение .
Идеята е да разделим ур-то на [tex]x^{2 }[/tex] ( х[tex]\ne[/tex]0 ) .

[tex]x^{2 }[/tex]-10х+26-[tex]\frac{10}{х}[/tex]+[tex]\frac{1}{ x^{2 } }[/tex] =0

([tex]x^{2 }[/tex]+[tex]\frac{1}{ x^{2 } }[/tex]) -10(х+[tex]\frac{1}{х}[/tex]) +26=0 (1)
Забелязваме ,че [tex]x^{2 }[/tex]+[tex]\frac{1}{ x^{2 } }[/tex] =([tex]x^{2 }[/tex]+2[tex]x^{2 }[/tex].[tex]\frac{1}{ x^{2 } }[/tex] +[tex]\frac{1}{ x^{2 } }[/tex]) -2=[tex](x+ \frac{1}{х}) ^{2 }[/tex]-2

Полагаме х+[tex]\frac{1}{х}[/tex]=у
[tex]у^{2 }[/tex]-2-10у+26 =0
[tex]у^{2 }[/tex]-10у+24 =0 ;к= -5 ,D=25-24=1
[tex]y_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{5 \pm 1}{1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y_{1 }[/tex]=6 , [tex]y_{2 }[/tex]=4
Връщаме се към полагането .
х+[tex]\frac{1}{х}[/tex]=6 , или х+[tex]\frac{1}{х}[/tex]=4
[tex]x^{2 }[/tex]-6х+1=0 , или [tex]x^{2 }[/tex]-4х+1=0

Сега остава Гост да реши двете квадратни уравнения .
Аз получих корени [tex]x_{1 }[/tex]=3-[tex]\sqrt{8}[/tex] ,[tex]x_{2 }[/tex]=3+[tex]\sqrt{8}[/tex] ,[tex]x_{3 }[/tex]=2-[tex]\sqrt{3}[/tex] ,[tex]x_{4 }[/tex]=2+[tex]\sqrt{3}[/tex]

Скрит текст: покажи

Мисля ,че няма нужда от проверка ,защото не сме добавили чужди корени т.е. не сме вдигали ур-то на втора степен .

[Гост]

Може ли някой да изпрати линк към обяснението на първия начин за решаване. Втория го разбрах. Благодаря и за двата отговора!

[ammornil]

Може ли някой да изпрати линк към обяснението на първия начин за решаване. Втория го разбрах. Благодаря и за двата отговора!

За сега е по-добре да останете с втория начин, това е пътят за решаване в среден курс на обучение.
Евентуално ако сте в математическа паралелка, ще Ви го покажат след като научите за производни на функция.