Геометрични задачи за 8 клас

[Гост]

1. Отсечката CD е височина в равнобедрения триъгълник ABC (AC = BC). От отсечка BD е взета точка M. Окръжност k1(O1, r1) е вписана в триъгълник AMC, а окръжност k2(O2, r2) е вписана триъгълник MBC и се допират до CM съответно в точките P и Q. Докажете, че MD = PQ. Ако r1 = 7 cm, r2 = 4 cm, намерете разстоянието от средата на отсечката O1O2 до CM
2. В окръжност е вписан равностранен триъгълник ABC, върху малката дъга AB е взета произволна точка M. Докажете, че AM + BM = CM.
3. С център средата О на страната АВ на равностранния триъгълник АВС е построена окръжност, която пресича страните АС и ВС съответно в точките М и N. Височината СО пресича окръжността в точките P и Q, a точките К и D са петите на перпендикулярните от точките Р и Q към правата АС. Докажете, че AD = KM
4. В окръжност k е вписан равностранен триъгълник АВС (АВ = с), а в него е вписана окръжност k1. Височината от върха А пресича за втори път вписаната окръжност в точка М и през нея е построена допирателна t към k1.
a) Ако t [tex]\cap[/tex] AC = K, t [tex]\cap[/tex] AB = N, то намерете [tex]P_{AKN }[/tex].
б) Вярно ли е, че ако t [tex]\cap[/tex] дъгата AB = T, то T е средата на малката дъга AB.
5. Докажете, че [tex]\frac{1}{r}[/tex] = [tex]\frac{1}{ r_{a } }[/tex] + [tex]\frac{1}{ r_{b } }[/tex] + [tex]\frac{1}{ r_{c } }[/tex], където r, [tex]r_{a }[/tex], [tex]r_{b }[/tex], [tex]r_{c }[/tex] са радиусите на вписаната и външновписаните окръжности в един триъгълник.

[Гост]

5 зад. Първо ще докажем формулата [tex]r_{a}[/tex]=[tex]\frac{S}{p-a}[/tex] ( р - полупериметър ) , която ще използваме в решението на зад.
Чертаем [tex]\triangle[/tex]АВС (със страни a,b,c и лице=S) и окр.K(O;[tex]r_{a }[/tex]) външновписана в тр-ка .
Нека окр. се допира до страната ВС и продълженията на страните АВ иАС съответно в т.Р ,т.Н и т.М .

[tex]S_{ABOC } =S_{ABOC}[/tex]
[tex]S_{ABO }+S_{AOC}=S_{ABC}+S_{BOC}[/tex]

[tex]\frac{AB.OH}{2}[/tex]+[tex]\frac{AC.OM}{2} =S+\frac{BC.OP}{2}[/tex]

[tex]\frac{c. r_{a } }{2}[/tex]+[tex]\frac{b. r_{a } }{2}[/tex]-[tex]\frac{a. r_{a } }{2}[/tex] =S

[tex]\frac{(c+b-a) r_{a } }{2}[/tex]=S

[tex]\frac{(a+b+c) -2a}{2}[/tex] .[tex]r_{a }[/tex] =S

(p-a)[tex]r_{a }[/tex]=S

[tex]r_{a }[/tex]=[tex]\frac{S}{p-a}[/tex]

По същия начин доказваме ,че [tex]r_{b }[/tex]=[tex]\frac{S}{p-b}[/tex] и [tex]r_{c }[/tex]=[tex]\frac{S}{p-c}[/tex] .
_____________________________________________________
[tex]\frac{1}{ r_{a } }[/tex]+[tex]\frac{1}{ r_{b } }[/tex]+[tex]\frac{1}{ r_{c } }[/tex] = [tex]\frac{p-a}{S}[/tex]+[tex]\frac{p-b}{S}+ \frac{p-c}{S}[/tex]=

=[tex]\frac{p-a}{pr}[/tex]+[tex]\frac{p-b}{pr}[/tex]+[tex]\frac{p-c}{pr}[/tex]=

=[tex]\frac{3p-(a+b+c)}{pr}[/tex]=

=[tex]\frac{3p-2p}{pr}[/tex] = [tex]\frac{p}{pr}[/tex] =[tex]\frac{1}{r}[/tex]

[Евва]

Докато писах ,излязох от профила си .

[Евва]

2 зад. вписаният [tex]\angle[/tex]АМС=[tex]\frac{малката-дъга-АС}{2}[/tex]=вписания [tex]\angle[/tex]АВС=60[tex]^\circ[/tex]
По същия начин доказваме ,че [tex]\angle[/tex]ВМС=60[tex]^\circ[/tex] .
Построяваме правоъгълните [tex]\triangle[/tex]НМС и [tex]\triangle[/tex]МРС ,като т.Н лежи на правата АМ и т.Р лежи на правата ВМ .
[tex]\triangle[/tex]НМС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]МРС ,защото 1.СМ=СМ ,2. [tex]\angle[/tex]НМС=[tex]\angle[/tex]РМС=60[tex]^\circ[/tex] 3.[tex]\angle[/tex]МСН=[tex]\angle[/tex]МСР=30[tex]^\circ[/tex] Тогава НС=РС (1)

Разглеждаме правоъгълните [tex]\triangle[/tex]НАС и [tex]\triangle[/tex]РВС
1.АС=ВС ([tex]\triangle[/tex]АВС е равностранен)
2.НС=РС ( от (1) ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]НАС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]РВС , а от това следва ,че НА=РВ (2)

Лесно се досещаме ,че НМ=[tex]\frac{СМ}{2}[/tex] и МР=[tex]\frac{СМ}{2}[/tex] (катети с/у 30 [tex]^\circ[/tex]) (3)
_______________________________________________________________________
АМ+ВМ=
=НМ-НА+РВ+МР (виж (2)) =

=НМ+МР (виж (3)) =

=[tex]\frac{СМ}{2}[/tex]+[tex]\frac{СМ}{2}[/tex]=

=СМ