Забележителни точки

[Гост]

20230529_193747.jpg (559.04 KiB) Прегледано 328 пъти

[Евва]

4 зад. Нека т.Н е ортоцентър на [tex]\triangle[/tex]АВС ,височините А[tex]А_{1 }[/tex] ,В[tex]В_{1 }[/tex] ,С[tex]С_{1 }[/tex][tex]\cap[/tex]описаната окр. съответно
в т.М,т. N и т.K .
Отбелязваме [tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\gamma[/tex] .Вписаните в окр. [tex]\angle[/tex]NKC и [tex]\angle[/tex]NBC отсичат една и съща [tex]\widehat{NC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex] NKC=[tex]\angle[/tex]NBC=[tex]\angle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]BC=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\gamma[/tex] ; [tex]\angle[/tex]NKC=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\gamma[/tex] (1)

Вписаните в окр. [tex]\angle[/tex]МКС и [tex]\angle[/tex]МАС отсичат една и съща [tex]\widehat{MC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]MKC=[tex]\angle[/tex]MAC=[tex]\angle[/tex][tex]A_{1 }[/tex]AC=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\gamma[/tex] ; [tex]\angle[/tex]MKC=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\gamma[/tex] (2)
от (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]NKC=[tex]\angle[/tex]MKC , което значи ,че КС е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]NKM
Знаем ,че т.Н лежи на отс.КС [tex]\Rightarrow[/tex] КН е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]NKM (3)

По същия начин доказваме ,че NH е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]KNM (4)
От (3) и (4) следва ,че т.Н е пресечна т. на ъглополовящите в [tex]\triangle[/tex]KMN .
Отбелязаният ортоцентър т.Н (в [tex]\triangle[/tex]АВС) се яви също и център на вписаната в [tex]\triangle[/tex]MNK окръжност .