задача

[Гост]

В триъгълник АВС М е средата на страната АВ, Н е петата на височината през върха С и L е пресечна точка на ъглополовящата през върха С със страна АВ.Намерете ъглите на триъгълника, ако ъгъл НСL=ъгъл LCM=20 градуса.

[Румен Симеонов]

В триъгълник АВС М е средата на страната АВ, Н е петата на височината през върха С и L е пресечна точка на ъглополовящата през върха С със страна АВ.Намерете ъглите на триъгълника, ако ъгъл НСL=ъгъл LCM=20 градуса.

Пробваме с [tex]\angle ACB=90^°[/tex]. Нека [tex]\angle А>\angle B[/tex] (случаят [tex]\angle А<\angle B[/tex] е симетричен, като тези ъгли си сменят местата). Следва [tex]\angle ACM=65^°=\angle CAM, AM= CM[/tex] и, аналогично, средва, че [tex]\angle BCM=25^°=\angle CBM, BM= CM[/tex], при което и следва, че $AM=CM=BM$, което потвърждава, че $AM=BM$. Ако [tex]\angle ACB\ne90^°[/tex] би трябвало, вижте подробностите, вместо потвърждение на $AM=BM$ да се стигне до противоречие с $AM=BM$. Следва, че ъглите на триъгълника са 25°, 65°, 90°.

[S.B.]

В триъгълник АВС М е средата на страната АВ, Н е петата на височината през върха С и L е пресечна точка на ъглополовящата през върха С със страна АВ.Намерете ъглите на триъгълника, ако ъгъл НСL=ъгъл LCM=20 градуса.

Без заглавие - 2023-06-04T092919.245.png (255.78 KiB) Прегледано 521 пъти

Още един поглед върху задачата

Продълженията на височината $CH$ и медианата $CM$ пресичат описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност съответно в точки [tex]H_{1 }[/tex] и [tex]M_{1 }[/tex].
$CL$ е ъглополовяща на [tex]\angle ACB \Rightarrow \angle ACL = \angle BCL[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle ACL = \angle ACH + \angle HCL = \angle ACH + 20 ^\circ \\ \angle BCL = \angle BCM + \angle LCM = \angle BCM + 20 ^\circ \\ \angle ACL = \angle BCL\end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow \angle ACH = \angle BCM = \varphi$$

[tex]\angle ACH = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{A H_{1 } }}{2} = \varphi[/tex] , [tex]\angle BCM = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{B M_{1 } }}{2} = \varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{A H_{1 }} = \overset{\displaystyle\frown}{B M_{1 }}[/tex]
[tex]\angle CHB =\displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{BC} + \overset{\displaystyle\frown}{A H_{1 } }}{2} = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\angle C H_{1 } M_{1 } = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{BC} + \overset{\displaystyle\frown}{B M_{1 } }}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow C H_{1 } M_{1 } = \angle CHB = 90 ^\circ \Rightarrow C M_{1 }[/tex] е диаметър на описаната окръжност.
[tex]CM_{1 } \cap AB = M , AM = BM[/tex] и диаметърът [tex]C M_{1 }[/tex] не е перпендикулярен на хордата [tex]AB \Rightarrow[/tex]хордата $AB$ също е диаметър [tex]\Rightarrow \angle ACB = 90 ^\circ[/tex]

[tex]\angle ACB = 2 \varphi + 40 ^\circ \Leftrightarrow 90 ^\circ = 2 \varphi + 40 ^\circ \Rightarrow 2 \varphi = 50 ^\circ \Rightarrow \varphi = 25 ^\circ[/tex]
За правоъгълния [tex]\triangle AHC \rightarrow \angle ACH = 25 ^\circ \Rightarrow \angle CAH = 65 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ABC \rightarrow \angle ACB = 90 ^\circ , \angle CAB = 65 ^\circ \Rightarrow \angle ABC = 25 ^\circ[/tex]
Ъглите в [tex]\triangle ABC[/tex] са:
$$90 ^\circ,65 ^\circ, 25 ^\circ $$

[Румен Симеонов]

,,Решението" на S.B. много ми харесва (а и изглежда е възможен и малко по-кратък запис основан на същите главни движещи идеи) и ще го лайкна когато бъде завършено, т.е. - когато бъдат разгледани (и най-вероятно отхвърлени като невъзможни) и случаите, при които, евентуално, правата СН, пресича описаната окръжност, може би, в някоя точка на отсечката НС или, може би, в някоя точка след С на продължението на НС. Моето решение, засега, също е непълно, а значи и то, както и това на S.B., не може да се признае за решение докато не бъде завършено в подробности. Все пак, за много полезни упътвания - могат да се признаят и двете. Очаквам допълненото и завършено решение на S.B. евентуално да е по-лесно и затова не бързам да излагам липсващите подробностите на моето.

[Гост]

Съгласни ли сте със следното решение. Сега като отново отварям коментарите виждам, 'че има доста общо с решението на S.B.

[math10.com]

,,Решението" на S.B. много ми харесва (а и изглежда е възможен и малко по-кратък запис основан на същите главни движещи идеи) и ще го лайкна когато бъде завършено, т.е. - когато бъдат разгледани (и най-вероятно отхвърлени като невъзможни) и случаите, при които, евентуално, правата СН, пресича описаната окръжност, може би, в някоя точка на отсечката НС или, може би, в някоя точка след С на продължението на НС. Моето решение, засега, също е непълно, а значи и то, както и това на S.B., не може да се признае за решение докато не бъде завършено в подробности. Все пак, за много полезни упътвания - могат да се признаят и двете. Очаквам допълненото и завършено решение на S.B. евентуално да е по-лесно и затова не бързам да излагам липсващите подробностите на моето.

Ако една задача има два или повече случая трябва да се разгледат, но в случая не е така.Не е необходимо да се обосновава, защо няма втори случай.В случая задачата е еднозначно определена и не изисква допълнителна обосновка.

Точка [tex]L[/tex] е вътрешна точка за отсечката [tex]AB[/tex] по определение ([tex]LC[/tex] е ъглополовяща в [tex]\triangle ABC[/tex]).Точка [tex]L[/tex] е между [tex]H[/tex] и [tex]M[/tex], защото [tex]\angle LCM= \angle LCH=20 ^\circ[/tex] по условие и [tex]L,M,H[/tex] лежат на правата определена от [tex]AB[/tex].Тъй като точка [tex]M[/tex] е вътрешна за отсечката [tex]AB[/tex] по определение ([tex]CM[/tex] е медиана в [tex]\triangle ABC[/tex]) и [tex]\angle ACL=\angle BCL[/tex] и [tex]\angle LCM= \angle LCH=20 ^\circ[/tex], то следва, че точка [tex]H[/tex] също е вътрешна за отсечката [tex]AB[/tex].

Цялата тази обосновка НЕ Е необходима.Единствено изкривеното мислене на потребителя Румен Симеонов, смята за нужно разглеждането на това.

По въпроса кога едно решение се признава за вярно, то отговора е:
Едно решение на задача по математика се смята за вярно, ако за него са използвани допустими от математиката средства, правила и изводи и е достигнат верен краен отговор.
За признаване на решенията се съобразявайте само с институциите, които определят правилата, а не с мнението и желанието на някои интернет потребители.

[Гост]

Надявам се не савам досаден, някой можели да каже дали според него, последно побликуваното решение е вярно. Благодаря!

[Гост]

Надявам се не савам досаден, някой можели да каже дали според него, последно побликуваното решение е вярно. Благодаря!

Трима потребители са дали одобрението си за решението на колегата S.B.Освен това последното мнение на колегата math10.com също показва,че решението е вярно.Ако Вие имате забележки,конкретно посочете грешките в решението.

[Гост]

Надявам се не савам досаден, някой можели да каже дали според него, последно побликуваното решение е вярно. Благодаря!

Трима потребители са дали одобрението си за решението на колегата S.B.Освен това последното мнение на колегата math10.com също показва,че решението е вярно.Ако Вие имате забележки,конкретно посочете грешките в решението.

[Гост]

Към никой нямам забележки. Просто питам дали моето също работи.

[Гост]

Към никой нямам забележки. Просто питам дали моето също работи.

Кое е Вашето решение,ако не е тайна?!До сега има публикувани 2 решения - на S.B. и на Румен Симеонов

[Гост]

Съгласни ли сте със следното решение. Сега като отново отварям коментарите виждам, 'че има доста общо с решението на S.B.

Това

[Гост]

Ако не го намирате мога да ви го изпратя отново.

[Гост]

Ако не го намирате мога да ви го изпратя отново.

Във вашето решение Вие приемате,че точка [tex]M[/tex],която по условие е среда на страната [tex]AB[/tex] за център на описаната около триъгълника окръжност ,което означава,че приемате предварително,че [tex]\triangle ACB[/tex] е правоъгълен,което после "доказвате".Извода дали е вярно решението или не оставям на Вас!

[Гост]

Доказвам че М съвпада с центъра О.Не го приемам просто така.

[S.B.]

Съгласни ли сте със следното решение. Сега като отново отварям коментарите виждам, 'че има доста общо с решението на S.B.

Не е било нужно да се "ровите" в Нета за да търсите дали някое решение не е същото като моето решение!За да се успокоите ще Ви кажа, че този метод не съм го измислила аз!Много близко беше до ума,че щом задачата е за 8 клас и се търсят ъгли то се използва и описана окръжност,тъй като в 8 клас основният материал чрез който се решават задачи от този тип е "Окръжности и ъгъл".Все пак моето доказателство е много по-компактно и по- конкретно от това,което сте намерили Вие.
А на въпроса Ви как съм се досетила за това ще отговоря съвсем кратко: Опит,колега,опит!Почти 50 -годишен опит в преподаване на елементарна математика.
Отворете учебника за 8 клас ,издателство "АРХИМЕД" от 2001 година на страница 244,245:
Там ще откриете ЗАДАЧА 2 и ЗАДАЧА 3, които са били ЗАДЪЛЖИТЕЛНИ за разглеждане в час и метода на решението им е този който съм използвала аз.Хайде направете сметка колко пъти тези задачи са били в ръцете ми и с колко деца съм ги разглеждала?
Все нещо е останало в главата ми и за разлика от Вас,който подозрително рови в Нета за да търси от къде може да съм преписвала,аз с тези задачи съм си вадила хляба и съм хранила децата си!
Останете си със здраве и приемете,че не всичко се намира в Нета,да не говорим,че и не всичко което лети се яде!

[Гост]

Решението не е от интернет, мое е.И аз съм заимствал идеята за решаване от други подобни задачи.Не разбирам само защо простичкия въпрос"Според вас вяно ли е?"(
който изисква още по-прост отговор) предизвиква подобни реакции.