Разстоянието между центъра на описаната около АВС окръжност

[Гост]

Даден е ∆АВС(∢С=90) със страни АВ=10cm, АС=6cm и ВС=8cm. Разстоянието между центъра на описаната около ∆ АВС окръжност и допирната точка Р на вписаната в ∆ АВС окръжност с АВ е равно на:
а) 0 cm; б) 1 cm; в) 2 cm; г) 6 cm.

[S.B.]

Даден е ∆АВС(∢С=90) със страни АВ=10cm, АС=6cm и ВС=8cm. Разстоянието между центъра на описаната около ∆ АВС окръжност и допирната точка Р на вписаната в ∆ АВС окръжност с АВ е равно на:
а) 0 cm; б) 1 cm; в) 2 cm; г) 6 cm.

Без заглавие - 2023-06-07T202920.247.png (239.67 KiB) Прегледано 332 пъти

Нека допирните точкина вписаната окръжност със страните на [tex]\triangle ABC[/tex] са $M,N.P$
$AM = AP = x$ (допирателни от външна точка към окръжност)
$MB = BN = 10 -x$
$PC = CN = 6 - x$
[tex]BN + NC = BC \Leftrightarrow 10 - x + 6 - x = 8 \Leftrightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4[/tex]
$$\Rightarrow AM = 4$$
Центърът на описаната около триъгълника окръжност [tex]O \in AB, OA = OB = 5[/tex]
TТърсеното разстояние е [tex]AO - AM = OM \Leftrightarrow OM = 5 - 4[/tex]
$$\Rightarrow OM = 1$$