Централна симетрия

[Гост]

20230607_192214.jpg (349.12 KiB) Прегледано 438 пъти

[S.B.]

Без заглавие - 2023-06-08T221407.931.png (213.68 KiB) Прегледано 417 пъти

От централната симетрия:
[tex]AB = A_{1 }B , A_{1 }C = C C_{1 } , A C_{1 } = A B_{1 }[/tex]
По условие: [tex]M \in A_{1 } B_{1 }, A_{1 }M = M B_{1 }[/tex]
а) Ще докажем:
$CM$ е средна отсечка в [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]
[tex]C[/tex] е среда на [tex]A_{1 } C_{1 } , M[/tex] е среда на [tex]A_{1 } B_{1 } \Rightarrow CM[/tex] е средна отсечка

б) Ще докажем,че [tex]\triangle ABC \cong \triangle A_{1 }BM[/tex]:
1)[tex]\angle CBA = \angle MB A_{1 }[/tex] (връхни)
2)
[tex]AB = B A_{1 }[/tex]
3)
$MB$ е средна отсечка в [tex]\triangle A B_{1 } A_{1 }[/tex] ( $B$ е среда на [tex]A A_{1 } ,M[/tex] е среда на [tex]A_{1 } B_{1 }[/tex]
$$\Rightarrow BM = \frac{A B_{1 } }{2} $$
$CB$ е средна отсечка в [tex]\triangle AA_{1 } C_{1 }[/tex] (ЗАЩО?)
$$\Rightarrow CB= \frac{ C_{1 }A }{2} $$
$$ C_{1 }A = A B_{1 } \Rightarrow CB = BM$$
[tex]\Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle A_{1 }BM[/tex] (по първи признак)

в) Ще докажем, че [tex]S_{ABC } : S_{ A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = 1:8[/tex]

Нека [tex]S_{ABC } = S \Rightarrow S_{ A_{1 }BM } = S[/tex] ( следва от еднаквостта на триъгълниците)
За [tex]\triangle CM A_{1 }[/tex] отсечката [tex]B A_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow S_{CB A_{1 } } = S_{BM A_{1 } } = S[/tex]
За [tex]\triangle BB_{1 } A_{1 }[/tex] отсечката $MB$ е медиана [tex]\Rightarrow S_{BM B_{1 } } = S_{MB A_{1 } } = S[/tex]
За [tex]\triangle AA_{1 } B_{1 }[/tex] отсечката [tex]B B_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow S_{A B_{1 }B } = S_{B A_{1 } B_{1 } } = 2S[/tex]
За [tex]\triangle A A_{1 } C_{1 }[/tex] отсечката $AC$ е медиана [tex]\Rightarrow S_{AC C_{1 } } = S_{AC A_{1 } } = 2S[/tex]

Получаваме,че [tex]S_{ A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = 8S[/tex]

Скрит текст: покажи

Можете да ги преброите на чертежа

$$\Rightarrow \frac{ S_{ABC } }{ S_{ A_{1 } B_{1 } C{1 } } } = \frac{S}{8S} = \frac{1}{8} $$