Вписан и описан около окръжност четириъгълник

[Гост]

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k и описан около окръжност k1. Ако ъгъл BAC=DAC и AC=a, да се намери радиуса на окръжността к.

[Гост]

Радиусът на описаната окръжност е [tex]\frac{a}{2}[/tex] .

[Гост]

Може ли да обясните защо. Благодаря!

[S.B.]

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k и описан около окръжност k1. Ако ъгъл BAC=DAC и AC=a, да се намери радиуса на окръжността к.

Без заглавие - 2023-06-18T183446.210.png (300.56 KiB) Прегледано 513 пъти

[tex]\angle DAC = \angle BAC \Rightarrow \overset{\displaystyle \frown}{DC} = \overset{\displaystyle\frown}{BC}[/tex] ( вписани ъгли в $k$)[tex]\Rightarrow DC = BC[/tex]
$ABCD$ е описан около окр.[tex]k_{1 } \Rightarrow AB + DC = AD + BC[/tex]
[tex]\begin{cases} AB + DC = AD + BC \\ DC = BC \end{cases} \Rightarrow AB = AD[/tex]
[tex]\triangle ABC \cong \triangle ADC[/tex] (първи признак)
1) $AC$ - обща;
2) [tex]\angle DAC = \angle BAC[/tex] (по условие)
3) $AB = AD$ (по доказателство)
[tex]\Rightarrow \angle ADC = \angle ABC[/tex]
Но [tex]\angle ABC + \angle ADC = 180 ^\circ[/tex] (срещулежащи във вписания в $k$ четириъгълник)
[tex]\Rightarrow \angle ADC = \angle ABC = 90 ^\circ \Rightarrow AC= a = 2R[/tex] ( диаметър)
$$\Rightarrow R = \frac{a}{2} $$

[Гост]

Много благодаря!