Централно симетричните точки на ортоцентъра, относно средите

[Гост]

Даден триъгълник ABC с ортоцентър H. Докажете, че централно симетричните точки на ортоцентъра, относно средите на страните, лежат върху окръжността, описана около триъгълника.

[ptj]

Лесна е само, ако 8-мо класниците знаят да правят "анализ".

Нека триъгълника е [tex]ABC[/tex] , ортоцентъра е О, а неговите централно симетрични точки спрямо страните са [tex]A_1,B_1,C_1[/tex].

Четириъгълника [tex]OBA_1C[/tex] e успоредник, защото има взаимно разполовяващи се диагонали.

[tex]BO \bot AC, BO\parallel CA_1 \Rightarrow \angle (ACA_1)=90 ^\circ[/tex]

Аналогично се доказва, че [tex]\angle (ABA_1)=90 ^\circ[/tex].

Получихме, че [tex]\angle (ABA_1)+\angle (ACA_1)=180 ^\circ[/tex] и следователно около четириъгълника [tex]ACA_1B[/tex] може да се опише окръжност,

т.е. т.[tex]А_1[/tex] лежи на описаната около триъгълника [tex]ABC[/tex] окръжнст.

За останалите точки [tex](B_1,C_1)[/tex] доказателството е аналогично.