Интересна задача

[Гост]

Двама души играят следната игра. Върху кръгла маса поставят последователно монети, които не трябва да се застъпват. Печели този, който сложи последен монета. Как трябва да играе първия играч, така че винаги да печели?

[KOPMOPAH]

Според мен първата монета трябва да бъде сложена в центъра на масата. След като вторият играч постави някъде монета, първият трябва да постави централно симетрично своята. И така всеки път. Щом като има място за монетата на втория играч, то мястото, централно симетрично на това, също трябва да е свободно.

[Гост]

mozhe li masata da ima i druga forma?

[peyo]

mozhe li masata da ima i druga forma?

Интересно ако масата има форма на квадрат със страна 2d (d диаметър на монетата).

Тогава ако първия сложи монетата в средата печели. Ако я сложи където и да е, мисля че ще загуби, но не съм сигурен.

[Гост]

ima li znachenie kakvi razmeri ima kvadratat?

[Гост]

pravougilnik ne stava li?

[ptj]

mozhe li masata da ima i druga forma?

Интересно ако масата има форма на квадрат със страна 2d (d диаметър на монетата).

Тогава ако първия сложи монетата в средата печели. Ако я сложи където и да е, мисля че ще загуби, но не съм сигурен.

Стратегията на КОРМОРАН работи за всяка централно-симетрична фигура.

[Гост]

tochno...

[peyo]

Стратегията на КОРМОРАН работи за всяка централно-симетрична фигура.

Да видим друга задача. А каква трябва да е фигурата където втория винаги ще спечели?

[pal702004]

Стратегията на КОРМОРАН работи за всяка централно-симетрична фигура.

Да видим друга задача. А каква трябва да е фигурата където втория винаги ще спечели?

Две окръжности

[peyo]

[quote="ptj"
Стратегията на КОРМОРАН работи за всяка централно-симетрична фигура. /quote]

Да видим друга задача. А каква трябва да е фигурата където втория винаги ще спечели?[/quote]Две окръжности[/quote][/quote][/quote]

Да, единственото което и аз се сещам е фигура която има вдлъбнатини. Тогава съществува ли фигура която е изцяло изпъкнала (convex hull) и втория играч печели?

[ptj]

Има, обаче ще си отговориш сам защо!

[peyo]

Има, обаче ще си отговориш сам защо!

Нещо не намирам такава фигура. По-малките със и без централна симетрия още на първия ход първия играч може да сложи монета така, че да спечели. При по-големи фигури не съм сигурен каква ще е печелившата стратегия на първия играч, но подозирам, че ще има такава.

[ptj]

Вероятно проблема ти е, че взимаш винаги централно симетрични фигури.

Най- типия пример: Вземи един равностранен триъгълник и впиши в него 4 окръжности с максимален радиус, без да се покриват една друга.
Тогава за този триъгълник има стратегия за втория играч, че да е възможно да се впишат или само 4 или само 2 такива окръжности.

[peyo]

Вероятно проблема ти е, че взимаш винаги централно симетрични фигури.

Най- типия пример: Вземи един равностранен триъгълник и впиши в него 4 окръжности с максимален радиус, без да се покриват една друга.
Тогава за този триъгълник има стратегия за втория играч, че да е възможно да се впишат или само 4 или само 2 такива окръжности.

Но равностранния триъгълник е централносиметрична фигура. Тогава по метода ма Корморан първия винаги печели като сложи първата монета в центъра.

[ptj]

Нещо грешиш. Образа на равноистранен тръгълник при централна симетрия спрямо неговия център е
съвсем друг равностраненен триъгълник (различен от първообраза).

[peyo]

Нещо грешиш. Образа на равноистранен тръгълник при централна симетрия спрямо неговия център е
съвсем друг равностраненен триъгълник (различен от първообраза).

Аха ! Да, метода на Корморан не може да се приложи тук.

Но в случая на равностранен триъгълник пак има печеливша стратегия за първия. Да погледнем чертежа:

geogebra-export(44).png (1.11 MiB) Прегледано 495 пъти

Първия слага червената окръжност както е на картинката. Тогава втория има само опция отляво или от дясно около E или D и после първия слага последната монета.

https://www.geogebra.org/classic/nrsh6asm

[ptj]

Опитай с правилен петоъгълник. Една окръжност в центъра и останалите 5 да се допират вътрешно до двете съседнини на всеки ъгъл страни.
Последно най-късото растояние между централната окръжност и всяка една от отаналите да е равно на половината от радиуса им (еднакъв за всичките 6).

[peyo]

Опитай с правилен петоъгълник. Една окръжност в центъра и останалите 5 да се допират вътрешно до двете съседнини на всеки ъгъл страни.
Последно най-късото растояние между централната окръжност и всяка една от отаналите да е равно на половината от радиуса им (еднакъв за всичките 6).

Да. при правилен петоъгълник доста сигурен съм, че втория винаги може да спечели. Където и да сложи първия, след това втория изглежда винаги може да раздели останалото пространство на две части.

5ygyln875.png (1.17 MiB) Прегледано 476 пъти

https://www.geogebra.org/classic/w56qwx5t

Интересно дали може да измислим по-стрикно доказателство.

[ptj]

Това, което си нарисувал е различно. Първия отново печели, ако с централната "захапе" 3 от останалите.

Аз исках разстояние между централната и останалите [tex]\frac{r}{2}[/tex].
Идеята е да могат да се разположат 6 (или евентуално 4).

[peyo]

Това, което си нарисувал е различно. Първия отново печели, ако с централната "захапе" 3 от останалите.

Аха, вярно! Как не съм го видял. Нещо такова и първия печели:

5ygyln875(1).png (1.17 MiB) Прегледано 473 пъти

Аз исках разстояние между централната и останалите [tex]\frac{r}{2}[/tex].
Идеята е да могат да се разположат 6 (или евентуално 4).

Нещо такова имаш предвид ли?:

okr12.png (1.04 MiB) Прегледано 473 пъти

Но тогава по метода на корморан първия пак винаги печели като сложи червената окръжност в центъра.

https://www.geogebra.org/classic/mybsutny

[ptj]

Мисля, че петоъгълника е добър, защото има осеви симетрии (изобразяваща го в себе си) спрямо коя да е от височините му.
Всичко, което ни трябва, е да в възможно винаги върху една от височините да се разположат първите две окръжности (,но не и 3).

[peyo]

Мисля, че петоъгълника е добър, защото има осеви симетрии (изобразяваща го в себе си) спрямо коя да е от височините му.
Всичко, което ни трябва, е да в възможно винаги върху една от височините да се разположат първите две окръжности (,но не и 3).

Нещо такова предполагам:

dkkfjgkfjn.png (1.08 MiB) Прегледано 456 пъти

Възможните ходове стават много. Не мога да преценя кой има печеливша стратегия. Аз продължавам да си мисля, че по-вероятно първия. Даже ми се стори, че я измислих, но намерих грешка и сега не знам.

https://www.geogebra.org/classic/pfvanxhj

[ptj]

Може да се докаже, че за фигури, които се изобразяват в себе си, чрез произволна еднаквост, печеливш е винаги първия.
Затова и не можахме да намерим печеливша конфигурация за втория играч при правилен петоъгълник.

П.П. Възможните еднаквости са централна симетрия, ротация и осева симетрия.

[peyo]

Може да се докаже, че за фигури, които се изобразяват в себе си, чрез произволна еднаквост, печеливш е винаги първия.
Затова и не можахме да намерим печеливша конфигурация за втория играч при правилен петоъгълник.

П.П. Възможните еднаквости са централна симетрия, ротация и осева симетрия.

Това е интересно! Какво е доказателството?