Окръжност и трапец 8-ми клас

[Гост]

1 зад.В трапеца ABCD (AB || CD) M e средата на ВС, АВ = 13[tex]\sqrt{x}[/tex]3 см и
CD = 5[tex]\sqrt{x}[/tex]3 cm. Akо G е медицентърът на [tex]\triangle[/tex]AMD,дължината на MG
(в см)e:

2 зад.Върху окръжност к с център 0 и диаметър
АВ са взети точки D и С така, че дъгите AD: DC:
СВ =5:6:7. Намерете ъглите на четириъгълника
ABCD.

3 зад. През точка А от окръжност с център 0 са построени диаметър АВ и хорда АС. Ако [tex]\angle[/tex]AOC - [tex]\angle[/tex]BOC = 28°, намерете ъглите на [tex]\triangle[/tex]АВС.

Предварително Ви благодаря!!!

[mail_dinko]

1. зад.:
Стандартен чертеж.
Намираме средната отс. MN (N е средата на DA)
[tex]MN = \frac {AB+CD}{2}= \frac {13 \sqrt {3}+5 \sqrt {3}}{2}=9\sqrt {3}[/tex]
Медицентърът дели медианите в един триъгълник в съотнош. 2:1, считано от върха.
MN - медиана в дадения триъгълник
[tex]MG = \frac 23 .9\sqrt {3} = 6 \sqrt {3} cm[/tex]

Зад. 2: приемаме, че точките са последователно в реда ADCB
AB=d - от тук следва, че дъгата АВ е с мярка 180 градуса
Оформят се три централни ъгъла със сбор 180 градуса, а именно
[tex]\angle AOD + \angle DOC + \angle COB = 180 ^\circ[/tex]
Озн. 1 част с х, съответно:
[tex]5x+6x+7x= 180 ^\circ[/tex]
[tex]x=10 ^\circ \Rightarrow \angle AOD = 50 ^\circ; \angle DOC = 60 ^\circ; \angle COB = 70 ^\circ[/tex]
Триъгълник AOD - равнобедрен, следователно [tex]\angle DAO = \angle ADO = \frac {180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ[/tex]
От тук намираме [tex]\angle BCD = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ[/tex] - сбор на срещуположни ъгли във вписан четириъгълник
Триъгълник BOC - равнобедрен, следователно [tex]\angle OBC = \angle OCB = \frac {180^\circ-70^\circ}{2}=55^\circ[/tex]
От тук намираме [tex]\angle ADC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ[/tex] - сбор на срещуположни ъгли във вписан четириъгълник

Зад. 3:
Това са съседни ъгли
[tex]\angle AOC - \angle BOC = 28^\circ[/tex]
[tex]\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ[/tex]
След почленно събиране се получава
[tex]2 \angle AOC = 208 ^\circ[/tex]
[tex]\angle AOC = 104^\circ; \angle BOC = 104^\circ - 28^\circ = 76^circ[/tex]