Задача

[Гост]

Върху страните AB u BC на триъгълник ABC външно са построени правоъгълни равнобедрени триъгълници с върхове съответно P u Q. Ако M е среда на страната AC, намерете големината на ъгъл MQP в градуси.

Ако някой може да ми помогне с тази задача, ще съм много благодарна.

[KOPMOPAH]

Триъгълник и два правоъгълни триъгълника.png (15.57 KiB) Прегледано 712 пъти

Построяваме върху страните $AB$ и $BC4$ квадрати, както е на чертежа. Споменатите в условието правоъгълни триъгълници са дадени с по-тъмен цвят.

$\measuredangle ABF=\measuredangle ABC+90^\circ$, $\measuredangle EBC=\measuredangle ABC+90^\circ$ следователно $\measuredangle ABF=\measuredangle EBC$.

Триъгълниците $\triangle ABF$ и $\triangle EBC$ са еднакви по първи признак (защо? )

Ако сте учили ротация, то $\triangle ABF$ е завъртян на $90^\circ$ спрямо $\triangle EBC$ около т.$B$, откъдето следва перпендикулярността на $AF$ и $CE$. Ако не сте учили - доказва се малко по-дълго с ъглите на триъгълниците.

От горното следва, че $AF$ и $CE$ са равни и перпендикулярни.

В $\triangle AFC$ $MQ$ е средна отсечка, а в $\triangle AEC$ $MP$ е средна отсечка, но те са равни на половината от равните $AF$ и $CE$.

В крайна сметка се получи, че $\triangle MPQ$ е равнобедрен правоъгълен триъгълник и ъглите му са $90^\circ$, $45^\circ$ и $45^\circ$.