Входно ниво за 9 кл.

[Гост]

Моля за помощ с решенията на тези две задачи. На 9. отговорът е 10, а на 10. отговорът е 70, 40, 70. Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Шахматистите са, естествено, $n$. Всеки играе по една партия с останалите $ n-1$ играчи, значи има общо $n(n-1) $ партии.
Да, ама всяка партия така я броим два пъти - веднъж откъм белите фигури и още един път - откъм черните. Значи реалният брой на партиите е два пъти по малък:
$~~\frac{n(n-1)}2=45$
Остава да се реши квадратното уравнение, което ще се получи след преработка на горния израз.
То има два корена, но само единият е отговор (защо?)

[Davids]

10. Фактът, че $М$ и $N$ са петите на съответните височини, следва директно от най-важното нещо, което знаем за вписаните ъгли - стойността им в градуси възлиза на половината от дъгата, срещу която са вписани (тази, образувана между пресечните точки на раменете им с окръжността). И двата ъгъла, $\angle CNB$ и $\angle CMB$ са вписани срещу диаметър, т.е. срещуположната им дъга е точно половината окръжност ($180^{\circ}$), откъдето и двата ъгъла директно са по $90^{\circ}$ и с доказателството сме готови.

За ъглите на $\triangle AMN$ ще подходим така: Показахме вече, че $CM$ е височина, но триъгълникът $\triangle ABC$ е равнобедрен, значи $CM$ е и ъглополовяща на $\angle ACB$. Оттам имаме, че $\angle ACM = \angle MCB = 20^{\circ}$. Да, но тези ъгли отново са вписани: $\angle NCM = \angle ACM$ е вписан срещу дъгата $NM$, а пък $BCM$ срещу дъгата $BM$. Значи и двете дъги са равни на по $40^{\circ}$, но по-същественото е, че срещу същите дъги са вписани и ъглите $\angle NBM$ и $\angle MNB$. Значи те автоматично също са по $20^{\circ}$, откъдето вече лесно намираме $\angle AMN = 40^{\circ}$ (като външен ъгъл за $\triangle MNB$) и за $\angle ANM$ остават $70^{\circ}$.