Медицентър в триъгълник 8 клас

[Гост]

Докажете, че медицентърът на триъгълник съвпада с медицентъра на триъгълника с върхове средите на страните.

[Евва]

Нека AN ,BP и CM са медиани в [tex]\triangle[/tex]ABC ,които се пресичат в т.G - медицентър .
Да се докаже ,че т.G е медицентър в [tex]\triangle[/tex]MNP .
Нека AN[tex]\cap[/tex]MP в т.[tex]N_{1 }[/tex] ,BP[tex]\cap[/tex]MN в т.[tex]P_{1 }[/tex] и CM[tex]\cap[/tex]NP в т.[tex]M_{1 }[/tex] .

Скрит текст: покажи

По построение точките A,[tex]N_{1 }[/tex], G ,N лежат на една права и точките B,[tex]P_{1 }[/tex],G,P лежат на една права .
Също P[tex]P_{1 } \cap N N_{1 }[/tex] в т.G .

PN е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]АВС ,защото т.Р и т.N са среди на страни .
Следователно PN||AB и PN=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] ,но МВ=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] т.е. PN=MB .
Така доказахме ,че MBNP е успоредник .
Тогава диагоналите му взаимно се разполовяват M[tex]P_{1 }[/tex]=N[tex]P_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] т.[tex]P_{1 }[/tex] е среда на отс.MN [tex]\Rightarrow[/tex]
Р[tex]Р_{1 }[/tex] е медиана в[tex]\triangle[/tex]MNP (1)

По същия начин доказваме ,че т.[tex]N_{1 }[/tex] е среда на отс.MP [tex]\Rightarrow[/tex] N[tex]N_{1 }[/tex] е медиана в [tex]\triangle[/tex]MNP (2)

От (1) и (2) следва ,че т. G е медицентър в [tex]\triangle[/tex]MNP .

[Гост]

Много Ви благодаря за отделеното време.