Задача от триъгълник1

[Гост]

Даден е триъгълник АВС, в който АС = 10см. и ВС = 6 см. Центърът на вписаната окръжност в триъгълника лежи на медианата прекарана от върха А. да се намерят:
a) дължината на допирателните отсечки от върховете на триъгълника до окръжността;
в) дължината на отсечката с краища допирните точки на вписаната окръжност и на външновписаната окръжност в триъгълника АВС, която се допира до страната АВ.

[Евва]

Окр. К( O;r ) -вписана в [tex]\triangle[/tex]ABC.
Дадено -т.О лежи на медианата [tex]m_{a }[/tex] .
Знаем от вписана окръжност -т.О лежи на ъглополовящата [tex]l_{a }[/tex] .
Значи АО е част от медиана и част от ъглополов. [tex]\Rightarrow[/tex] Медианата АМ съвпада с ъглполовящата .
Тогава [tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен ( АВ=АС )

а) Нека окр.К се допира до страните АВ ,ВС и АС съответно в т.Н ,т.М и т.Р .
Гост лесно ще намери ,че АН=АР=7 см. ,ВН=ВМ=3 см. и СМ=СР=3 см.

[Евва]

в) Нека [tex]K_{1 }[/tex] е външновписана окр. ,която се допира до страната АВ в т.N ( т.N е м/у т.А и т.Н )
Нека правата СА се допира до [tex]K_{1 }[/tex] в т.F и правата СВ се допира до [tex]K_{1 }[/tex] в т.Е .
NH =x =?
Приемаме ,че AN=y .
CF=CE (защото са допирателни към [tex]K_{1 }[/tex] от външна точка - т.C)
CA+AF=CB+BE
CA+AN=CB+BN
10+y=6+BH+NH
10+y=6+3+x
y=x-1 (1)

AB=10
AN+NH+HB=10
y+x+3=10
y=7-x (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] х-1=7-х
х=4
NH=4 см.