Равностранен триъгълник

[Гост]

Върху страните АВ и ВС на равностранния триъгълник АВС са взети съответно точки M и N, така че АМ=BN. Ако О е пресечената точка на AN и BN, докажете, че точките М,В, N, и О лежат на една окръжност.

[Евва]

Мисля ,че има грешка в условието .
Според мен т.О е пресечна точка на AN и CM .
Ще докажем ,че около четириъгълника MBNO може да се опише окръжност .

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABN и [tex]\triangle[/tex]AMC
1. AB=AC
2. BN=AM
3. [tex]\angle[/tex]ABN=[tex]\angle[/tex]CAM=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] по 1 признак [tex]\triangle[/tex]ABN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]AMC
От това следва ,че [tex]\angle[/tex]ANB=[tex]\angle[/tex]AMC .
Нека [tex]\angle[/tex]ANB=[tex]\angle[/tex]AMC=[tex]\beta[/tex] ; [ [tex]\angle[/tex]BNO=[tex]\angle[/tex]BNA=[tex]\beta[/tex] ]

[tex]\angleВМС+ \angleАМС =180 ^\circ[/tex] (съседни са)
[tex]\angle[/tex]BMO=[tex]\angle[/tex]ВМС= 180[tex]^\circ- \beta[/tex]

Разглеждаме четириъгълника MBNO .
[tex]\angle[/tex]BMO+ [tex]\angle[/tex]BNO =[tex]180 ^\circ - \beta + \beta[/tex] =180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
Около четириъг. MBNO може да се опише окръжност .