Външновписани окръжности

[Гост]

В триъгълник АВС точките la, lb и lc са центровете на трите външно вписани окръжности, които се допират съответно до страните ВС, АС и АВ.Намерете ъгъл АВС , ако ъгъл lalclb=60 и ъгъл lblalc=70 градуса.

[Гост]

Ще използваме свойствата на триъгълника с център на вписаната окръжност.

1. Нека $I_a$, $I_b$ и $I_c$ са центровете на вписаните окръжности, съответно допиращи до страните $BC$, $AC$ и $AB$ на триъгълника $\triangle ABC$.

2. За ъгълите $\angle I_a$, $\angle I_b$ и $\angle I_c$ е известно, че $\angle I_aBC = \angle I_aCB = \frac{\angle B}{2}$, $\angle I_bCA = \angle I_bAC = \frac{\angle C}{2}$ и $\angle I_cAB = \angle I_cBA = \frac{\angle A}{2}$.

3. От условието е известно, че $\angle I_aI_cI_b = 60^\circ$ и $\angle I_bI_aI_c = 70^\circ$.

4. Тъй като $\angle I_aBC = \frac{\angle B}{2}$ и $\angle I_cBC = \frac{\angle C}{2}$, то $\angle I_aI_cB = \angle B - \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle B}{2}$. Аналогично, $\angle I_cI_aB = \frac{\angle C}{2}$.

5. Сега имаме $\angle I_aI_cI_b = \angle I_aI_cB + \angle I_cI_aB = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = \frac{\angle B + \angle C}{2} = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$.

6. Тъй като $\angle I_aI_cI_b = 60^\circ$, тогава $\frac{\angle A}{2} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

7. Следователно, $\angle A = 2 \times \frac{\angle A}{2} = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

И така, ъгълът $ \angle ABC = 60^\circ $.