Помощ за 2 задачи

[Гост]

Имам нужда от помощ за следните задачи:
1- ва задача.
В успоредник ABCD точката M е средата на AD, а N – средата на BC. Докажете, че AN и CM делят диагонала
BD на три равни части. Упътване: Пресечните точки P и Q на CM с DB и AN с DB са медицентровете съответно на триъгълниците ACD
и ABC.

2-ра задача
Точките M и N са средите съответно на страните BC и AC на триъгълника ABC и AM пресича BN в точка Q. Ако разстоянието от Q до правата MN е 3 cm, намерете
дължината на височината CD в сантиметри.

[Евва]

2 задача става много лесна ,след като направим допълнително построение .

[Евва]

1 зад. Нека диагоналите и се пресичат в т.О .
ABCD - успоредник [tex]\Rightarrow[/tex] АО=СО (1)

Скрит текст: покажи

В успоредник диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка .

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АВС От (1) [tex]\Rightarrow[/tex] ВО е медиана в[tex]\triangle[/tex]АВС .
От даденото знаем ,че AN е медиана в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Тогава пресечната им точка Q е медицентър на [tex]\triangle[/tex]АВС .
По същия начин доказваме ,че т.Р е медицентър на[tex]\triangle[/tex]ACD .

BQ= [tex]\frac{2}{3}[/tex]BO =[tex]\frac{2}{3} . \frac{BD}{2}[/tex] =[tex]\frac{BD}{3}[/tex]

DP= [tex]\frac{2}{3}[/tex]DO =[tex]\frac{2}{3} . \frac{BD}{2}[/tex] =[tex]\frac{BD}{3}[/tex]

PQ= BD -BQ -DP= [tex]\frac{BD}{1} - \frac{BD}{3} - \frac{BD}{3} = \frac{3BD -BD -BD}{3}[/tex]= [tex]\frac{BD}{3}[/tex]

Доказахме ,че BQ=PQ=DP .

[Евва]

2 зад. В [tex]\triangle[/tex]АВС медианите AM и BN се пресичат в медицентър т. Q .
Построяваме височината QH в [tex]\triangle[/tex]NQM и QH=3 см. Нека височината CD и NM се пресичат в т.Р .
MN е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] правата NM||AB ,което значи ,че NP||AB (1)
т.N - среда на АС (2) От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] NP е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ADC
Това означава ,че т.Р е среда на отс. CD (3)

Нека QE е височина в [tex]\triangle[/tex]ABQ и т.T е среда на отс.BQ (4)
Допълнително си построяваме височината TF в [tex]\triangle[/tex]ABT .

[tex]\triangle[/tex]FBT[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]NQH по 2 признак ,защото
1. BT=NQ=[tex]\frac{1}{3}[/tex]BN ,2. [tex]\angle[/tex]FBT=[tex]\angle[/tex]QNH=[tex]\beta[/tex] ( кръстни ъгли )

Скрит текст: покажи

Правата BN пресича AB и MN, които са успоредни .

3. [tex]\angle[/tex]FTB=[tex]\angle[/tex]NQH =90[tex]^\circ[/tex]- [tex]\beta[/tex]
От еднаквостта им [tex]\Rightarrow[/tex] FT=QH=3 см.

FT е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]EBQ .
Тънкост - височините QE и TF към АВ са успоредни помежду си .(също виж (4))
FT=[tex]\frac{QE}{2}[/tex] ; 3=[tex]\frac{QE}{2}[/tex] ; QE= 6 см.
Забелязваме ,че DEHP е правоъгълник по построение [tex]\Rightarrow[/tex] DP=HE ; DP=QH+QE= 3+6 =9 см.
От (3) [tex]\Rightarrow[/tex] CD=2DP= 2.9=18 см.