Моделиране с квадратни уравнения

[Гост]

1. Намислих едно естествено число. Към него прибавих квадрата му и получих 72. Кое число съм намислил?

2. Лицето на правоъгълник е 130 cm². Намерете страните му, ако едната е с 3 cm по-дълга от другата.

[ammornil]

1. Намислих едно естествено число. Към него прибавих квадрата му и получих 72. Кое число съм намислил?
[tex]x \in \mathbb{N} \\ x+x^{2}=72 \Leftrightarrow x^{2}+x-72=0 \cdots[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]D=1^{2}-4\cdot{1}\cdot{(-72)}=1+288=289 \Rightarrow \sqrt{D}=17 \\ x_{1,2}=\frac{-1\pm17}{2\cdot{1}} \begin{cases} x_{1}=-9 \notin \mathbb{N} \\ x_{2}= 8 \in \mathbb{N} \end{cases}[/tex]

$$ \boxed{x=8} $$

2. Лицето на правоъгълник е 130 cm². Намерете страните му, ако едната е с 3 cm по-дълга от другата.
[tex]a=x,\hspace{1em} b=x+3,\hspace{1em} \text{ДМ: }\hspace{1em} x>0\\ S=a\cdot{b} \Rightarrow x\cdot{(x+3)}=130 \cdots[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]x(x+3)=130 \Leftrightarrow x^{2}+3x-130=0 \\ D=3^{2}-4\cdot{1}\cdot{(-130)}=9+520=529 \Rightarrow \sqrt{D}=23 \\ x_{1,2}=\frac{-3\pm{23}}{2\cdot{1}} \begin{cases} x_{1}=-13 <0 \notin \text{ДМ} \\ x_{2}=10 \in \text{ДМ} \end{cases}[/tex]

$$\boxed{ a=10, b=13} $$