Задача върху тема окръжност

[Гост]

Точките A, B, C и D от окръжност k са такива, че AB : BC : CD : DA - 9 : 2 : 3 : 6. Правите AD и BC се пресичат в точка N. Правите AD и BC се пресичат в точка N. Правите AC и BD се пресичат в точка M. Намерете големините на ANB и BMC

[peyo]

Точките A, B, C и D от окръжност k са такива, че AB : BC : CD : DA - 9 : 2 : 3 : 6. Правите AD и BC се пресичат в точка N. Правите AD и BC се пресичат в точка N. Правите AC и BD се пресичат в точка M. Намерете големините на ANB и BMC

Ако AB означава дължината на отсечката AB, то:

$s^2 = 2r^2-2r^2cos(a)$
$s^2 = 2r^2(1-cos(a))$
$cos(a) = 1-s^2/(2r^2)$
$a = acos(1-s^2/(2r^2))$

[tex]\begin{array}{|l} a_9 = acos(1-9^2/(2r^2)) \\ a_2 = acos(1-2^2/(2r^2)) \\ a_3 = acos(1-3^2/(2r^2)) \\ a_6 = acos(1-6^2/(2r^2)) \\ a_9+ a_2+a_3+a_6=2\pi \end{array}[/tex]

In [270]: f = acos(1-9**2/(2*r**2)) + acos(1-2**2/(2*r**2)) + acos(1-3**2/(2*r**2)) + acos(1-6**2/(2*r**2)) -2*pi

In [271]: plot(f)
Out[271]: <sympy.plotting.plot.Plot at 0x1c6e25811d0>

Screenshot 2024-03-01 101602.jpg (35.48 KiB) Прегледано 2260 пъти

Виждаме, че функцията няма корени и r не съществува и задачата няма решение.

Може би AB означава дължината на дъгата и тогава задачата може да има решение.

[S.B.]

Точките A, B, C и D от окръжност k са такива, че AB : BC : CD : DA - 9 : 2 : 3 : 6. Правите AD и BC се пресичат в точка N. Правите AD и BC се пресичат в точка N. Правите AC и BD се пресичат в точка M. Намерете големините на ANB и BMC

Без заглавие - 2024-03-01T183932.305.png (247.99 KiB) Прегледано 2251 пъти

[tex]\overset {\displaystyle \frown} {AB} : \overset{\displaystyle\frown}{BC} : \overset {\displaystyle \frown}{CD} : \overset{\displaystyle \frown}{DA}
= 9 : 2: 3 : 6 \Leftrightarrow 9x + 2x + 3x + 6x = 360 ^\circ \Leftrightarrow 20x = 360 ^\circ \Rightarrow x = 18 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \overset {\displaystyle \frown}{AB} = 162 ^\circ , \overset {\displaystyle \frown}{BC}= 36 ^\circ , \overset {\displaystyle \frown}{CD} = 54 ^\circ , \overset {\displaystyle \frown }{DA} = 108 ^\circ[/tex]

[tex]\angle ANB = \displaystyle\frac{\overset {\displaystyle \frown}{AB} - \overset {\displaystyle \frown}{CD}}{2} = \displaystyle \frac{162 ^\circ - 54 ^\circ }{2} = \frac{108 ^\circ }{2}[/tex]
$$\Rightarrow \angle ANB = 54 ^\circ $$
[tex]\angle BMC = \displaystyle\frac{\overset {\displaystyle \frown}{AD} + \overset {\displaystyle \frown }{BC}}{2} = \displaystyle\frac{108 ^\circ + 36 ^\circ }{2} = \displaystyle\frac{144 ^\circ }{2}[/tex]
$$\Rightarrow \angle BMC = 72 ^\circ $$