Периферен ъгъл

[Гост]

1. Дъгите [tex]\overline{MN}[/tex] в окръжност k е 75[tex]^\circ[/tex]. През точка M е построена допирателна t към k. Намерете периферните ъгли, които допирателната образува с хордата MN.

2. Върховете на [tex]\triangle[/tex]ABC са точки от окръжност и я разделят на дъги така, че [tex]\overline{AB}[/tex] : [tex]\overline{BC}[/tex] : [tex]\overline{CA}[/tex] = 2 : 3 : 4. През върха B е построена допирателна към окръжността. Намерете ъглите, които допирателната сключва със страните BA и BC на триъгълника.

[ammornil]

Screenshot 2024-03-17 190004.png (15.91 KiB) Прегледано 2352 пъти

[tex]\\\angle{AMN}=\frac{\widehat{MPN}}{2}=37,5^{\circ} \quad \Rightarrow \angle{NMB}=180^{\circ}-\angle{AMN}=142,5^{\circ}[/tex]

[ammornil]

Screenshot 2024-03-17 191325.png (20.92 KiB) Прегледано 2352 пъти

[tex]\\\widehat{AMB}=2\cdot{x}, \quad \widehat{BPC}=3\cdot{x}, \quad \widehat{CQA}=4\cdot{x} \\ \because \widehat{AMB}+ \widehat{BPC}+\widehat{CQA}=360^{\circ} \Rightarrow 2\cdot{x}+3\cdot{x}+4\cdot{x}=360^{\circ} \\ \quad \Leftrightarrow 9\cdot{x}=360^{\circ} \Leftrightarrow x=40^{\circ} \\ \Rightarrow \widehat{AMB}=80^{\circ}, \quad \widehat{BPC}=120^{\circ}, \quad \widehat{CQA}=160^{\circ} \\ \angle{DBA}=\frac{\widehat{AMB}}{2}=40^{\circ}, \quad \angle{CBE}=\frac{\widehat{BPC}}{2}=60^{\circ}[/tex]