Задача с три окръжности

[Гост]

Здравейте! Бих искал да помоля за помощ за следната задача: Триъгълник АВС е равнобедрен и AL е негова ъглополовяща. Окръжността с диаметър АL, пресича АС в нейната среда. Да се докаже, че центърът на описаната окоо ABL окръжност, лежи на окръжността, описана около ACL.
Бих бил благодарен на всякаква помощ!

[Гост]

Здравейте! Бих искал да помоля за помощ за следната задача: Триъгълник АВС е равнобедрен и AL е негова ъглополовяща. Окръжността с диаметър АL, пресича АС в нейната среда. Да се докаже, че центърът на описаната окоо ABL окръжност, лежи на окръжността, описана около ACL.
Бих бил благодарен на всякаква помощ!

Не сте означили кои са бедрата на [tex]\triangle ABC[/tex].Важно е да се знае кои са бедрата и коя е основата.

[S.B.]

Без заглавие (1).png (287.07 KiB) Прегледано 306 пъти

Не съм решавала задачата.Направих само чертежа.
Разгледайте чертежа.Центровете на трите окръжности лежат на симетралата на $AL$...
Ще се опитам утре да отделя време да напиша решението.Но опитайте и Вие!
Лека нощ!

[pipi langstrump]

Първо намираме ъглите на триъгълника АВС, които са 72°, 72° и 36°. Разглеждаме триъгълника BLA, ъгъл BAL e 36°, ъгъл ABL e 72°, следователно и той е равнобедрен и AO3 е ъглополовяща на ъгъл BAL, следователно ъгъл О3АL а оттам и ъгъл O3LA са 18°. Обаче вписания ъгъл АСО3' (О3' e пресечната точка на височината от върха С с окръжността кО3) също е 18° значи ъгъл О3LA също е вписан и [tex]O_3\equiv O_3'[/tex]

[Гост]

Без заглавие (1).png

Не съм решавала задачата.Направих само чертежа.
Разгледайте чертежа.Центровете на трите окръжности лежат на симетралата на $AL$...
Ще се опитам утре да отделя време да напиша решението.Но опитайте и Вие!
Лека нощ!

Интелигентното решение започва с хубавия чертеж. Понякога се състои от него, няма нужда от много приказки.

[S.B.]

Здравейте! Бих искал да помоля за помощ за следната задача: Триъгълник АВС е равнобедрен и AL е негова ъглополовяща. Окръжността с диаметър АL, пресича АС в нейната среда. Да се докаже, че центърът на описаната окоо ABL окръжност, лежи на окръжността, описана около ACL.
Бих бил благодарен на всякаква помощ!

Без заглавие.png (294.06 KiB) Прегледано 274 пъти

Симетралата на $AL$ означавам с [tex]S_{AL }[/tex]
Симетралата на $AC$ означавам с [tex]S_{AC }[/tex]
Симетралата на $AB$ означавам с [tex]S_{AB }[/tex]

Окръжността [tex]k_{1 }[/tex] с диаметър [tex]AL[/tex] пресича бедрото в т. $M$, така,че $AM = MB$.
([tex]O_{1 } \in AL,A O_{1 } = O_{1 }L[/tex])
Точка $M$ се вижда под ъгъл [tex]90 ^\circ[/tex] от [tex]AL \Rightarrow LM \bot AC \Rightarrow LM = S_{AC }[/tex]
[tex]S_{AC } \cap S_{AL } = O_{2 }[/tex] - центъра на описаната около [tex]\triangle ALC[/tex] окръжност.
[tex]O_{1 } O_{2 } \in[/tex] диаметъра на [tex]k_{2 }[/tex] (Защо?)
[tex]O_{1 } O_{2 } \cap k_{2 }[/tex] в т. $T$ и в т.[tex]O_{3 }[/tex]
Ще докажем ,че [tex]O_{3 }[/tex] е център на описаната около [tex]\triangle ABL[/tex] окръжност.
[tex]O_{3 } \in S_{AL } \Leftrightarrow O_{3 }L = O_{3 }A \Rightarrow \overset{\displaystyle \frown} {A O_{3 }} = \overset {\displaystyle \frown}{L O_{3 } } \Rightarrow \angle AC O_{3 } = \angle LC O_{3 }[/tex] (като вписани в окр. [tex]k_{2 }[/tex])
[tex]L \in BC \Rightarrow \angle BC O_{3 } = \angle LC O_{3 }[/tex]
[tex]\triangle AC O_{3 } \cong \triangle BC O_{3 }[/tex] (първи признак)
[tex]\Rightarrow AO_{3 } = BO_{1 } \Rightarrow O_{3 } \in S_{AB }[/tex]
[tex]\begin{cases} O_{3 } \in S_{AL } \\ O_{3 } \in S_{AL } \end{cases} \Rightarrow O_{3 }[/tex] е център на описаната около [tex]\triangle ABL[/tex] окръжност [tex]k_{3 }[/tex]
Но [tex]O_{3 } \in k_{2 } \Rightarrow[/tex] центърът на описаната около [tex]\triangle ABL[/tex] окръжност лежи на описаната около [tex]\triangle ALC[/tex] окръжност.

[Гост]

Много благодаря за изчерпателното решение - разбрах абсолютно всичко! На въпроса защо О1О2 принадлежи на диаметъра на к2 мисля, че защото е перпендикулярна и разполовява хордата АL, следователно е част от диаметъра.

[S.B.]

Много благодаря за изчерпателното решение - разбрах абсолютно всичко! На въпроса защо О1О2 принадлежи на диаметъра на к2 мисля, че защото е перпендикулярна и разполовява хордата АL, следователно е част от диаметъра.

[tex]O_{1 } O_{2 }[/tex] минава през центъра [tex]O_{2 }[/tex] на [tex]k_{2 }[/tex] и едновременно с това [tex]O_{1 } O_{2 } \equiv S_{AL }[/tex]
Радвам се,че моето решение Ви е било полезно!