Окръжност, вписан в триъгълник

[Гост]

1. В правоъгълен триъгълник с катети a, b, хипотенуза c и радиус на вписаната окръжност r намерете:
а) c, ако P∆ = 36 cm и r = 3 cm;
б) p, ако ab = 68 cm² и r = 2 cm;
в) a, ако c – b = 5 cm и r = 1,5 cm.

[Гост]

За всички подточки на задача се използва свойството, че в правоъгълен триъгълник т. C, т. I (център на вписаната окръжност) и петите на радиусите, спуснати към катетите образуват квадрат с дължина на страната равна на r. От там следва и основната задача, че r = [tex]\frac{a + b - c}{2}[/tex].

В а) е даден периметърът и радиусът, а се търси хипотенузата.
r = p - c
3 см = 18 см - c
c = 15 см
В б) е даден радиусът и произведението ab = 64 [tex]см^{2 }[/tex]. Първо намираме лицето S[tex]\triangle[/tex] = 68/2 = 34 [tex]см^{2 }[/tex] и след това използваме формулата S = r . p
r . p = 34 [tex]см^{2 }[/tex]
2 . p = 34 [tex]см^{2 }[/tex]
p = 17 см
Във в) е дадена разликата c - b = 5 см и радиусът r = 1,5 см. Търси се а = ?
c - b = 5 см
b - c = -5 см / +a
a +b - c = a - 5 см / : 2
2r = a - 5 см
2 . 1,5 см = a - 5 см
[tex]\Rightarrow[/tex] a = 8 см.