Задача по геометрия

[Гост]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC с [tex]\angle[/tex] С=90°. Разстоянието от медицентъра до AB е 2 пъти по-малко от разстоянието от медицентъра до катета BC. Намерете големината на [tex]\angle[/tex] CAB в градуси.

[Евва]

Построй т.[tex]М_{2 }[/tex] среда на отсечката АС .
Построй височината [tex]М_{2 } Н_{3 }[/tex] в [tex]\triangle[/tex]АВ[tex]М_{2 }[/tex] .
Разгледай правоъгълния [tex]\triangle[/tex]А[tex]Н_{3} М_{2 }[/tex] и докажи ,че [tex]М_{2 } Н_{3 } = \frac{А М_{2 } }{2}[/tex]

Тогава [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle М_{2 }А Н_{3 }[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

Благодаря Ви за отговора, но не се сещам как да го докажа със знанията от 8 клас, т.е. без подобни триъгълници и теорема на Талес, които се учат в 9 клас.
Задачата е дадена за входно ниво на 9 клас.

[Евва]

Основно използвам средна отсечка в триъгълник .
Утре сутринта мога да пратя решението си .

[Гост]

Ще Ви бъда много благодарна!

[Евва]

Нека т.G е медицентъра ,а разстоянието от т.G до страната АВ е G[tex]H_{1 }[/tex] и разстоянието от т.G до страната ВС е G[tex]H_{2 }[/tex] .
Точките [tex]М_{1 }[/tex] и [tex]М_{2 }[/tex] са съответно средите на катетите ВС и АС .
Отбелязваме т.F среда на отс.BG и т.[tex]F_{1 }[/tex] такава ,че F[tex]F_{1 }[/tex] е разстоянието от т.F до катета ВС .
Отбелязваме т.[tex]F_{2 }[/tex] такава ,че F[tex]F_{2 }[/tex] е разстоянието от т.F до хипотенузата АВ .
Нека [tex]М_{2 } Н_{3 }[/tex] е височината в [tex]\triangle[/tex]АВ[tex]М_{2 }[/tex] .
Според второто изречение на условието отбелязваме G[tex]H_{1 }[/tex] =x и G[tex]H_{2 }[/tex] =2x (1)
[tex]\angle[/tex]САВ = ?

Забелязваме ,че F[tex]F_{1 }[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]GB[tex]H_{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] F[tex]F_{1 }[/tex]=[tex]\frac{G H_{2 } }{2}[/tex]=x (2) ,
също F[tex]F_{2 }[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex][tex]H_{1 }[/tex]BG [tex]\Rightarrow[/tex] F[tex]F_{2 }[/tex]=[tex]\frac{G H_{1 } }{2}[/tex]=[tex]\frac{x}{2}[/tex] (3)

Разглеждаме правоъгълния трапец [tex]H_{3 } F_{2 }F M_{2 }[/tex] ([tex]M_{2 }H_{3 } ||F F_{2 }[/tex]) ,който има средна отсечка G[tex]H_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]GH_{1 } = \frac{ M_{2 } H_{3 }+F F_{2 } }{2}[/tex] (виж (1) и (3)) x=[tex]\frac{ M_{2 } H_{3 } + \frac{x}{2} }{2}[/tex] ; [tex]M_{2 } H_{3 } = \frac{3x}{2}[/tex] (4)

Разглеждаме правоъгълния трапец [tex]M_{2 }F F_{1 }C[/tex] (C[tex]M_{2 }||F F_{1 }[/tex]) ,който има средна отсечка G[tex]H_{2 }[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]GH_{2 }= \frac{C M_{2 }+F F_{1 } }{2}[/tex] (виж (1) и (2)) 2x=[tex]\frac{C M_{2 }+x }{2}[/tex] ;C[tex]M_{2 }[/tex]=3x
Според построенията А[tex]М_{2 }=С М_{2 }[/tex] т.е. А[tex]М_{2 }[/tex]=3x (5)

Разглеждаме правоъгълния (по построение) [tex]\triangle[/tex]А[tex]Н_{3 } М_{2 }[/tex] .
От (4) и (5) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]М_{2 } Н_{3 } = \frac{А М_{2 } }{2}[/tex]
От предходните два реда следва ,че според важна теорема катетът [tex]М_{2 } Н_{3 }[/tex] лежи срещу ъгъл от 30[tex]^\circ[/tex],
а именно [tex]\angle[/tex][tex]М_{2 }АН_{3 }=30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle[/tex][tex]М_{2 }А Н_{3 } =30 ^\circ[/tex]

[Гост]

Благодаря!

[ptj]

Нека т.[tex]D[/tex] e среда на [tex]AB[/tex].

Нека т.[tex]M[/tex] e медицентър на [tex]\triangle ABC[/tex].

Нека т.[tex]S \in AB[/tex] и [tex]MS \bot AB[/tex].

Нека т.[tex]P \in CB[/tex] и [tex]MP \bot CB[/tex].

Нека т. [tex]N \in MC[/tex] и [tex]CN=MN[/tex].

Нека т.[tex]Q \in CB[/tex] и [tex]NQ \bot CB[/tex].

Коректността на решение изисква да се разгледат 3 случая в зависимост от положението на точка [tex]S[/tex] спрямо D върху AB.

I-ви случай: [tex]S \equiv D[/tex]. Тогава [tex]CD[/tex] е едновремено височина и медиана, т.е. правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен.

[tex]МS=MD=x, MC=2x,[/tex] правоъгълния [tex]\triangle CPM[/tex] e равнобедрен, [tex]MP= \frac{MC}{ \sqrt{2} }= \frac{2x}{ \sqrt{2} } = x.\sqrt{2} \ne 2x[/tex]

Този случай е в противоречие с условието, сл. т.[tex]D[/tex] е различна от т.[tex]S[/tex].

-----------------------------------------------------------------------------------

Съгласно с-во на медицентъра [tex]CM:MD=2:1[/tex].

По построение [tex]NC:MC=1:2[/tex], сл. [tex]NC=ND[/tex].

[tex]NQ[/tex] се явява средна отсечка в [tex]\triangle MPC[/tex], защото минава през средата на [tex]CM[/tex] и [tex]NQ\parallel MP[/tex].

[tex]MP=2MS \Rightarrow MS = NC[/tex].

[tex]\triangle DMS \cong \triangle CNQ[/tex] по 4-ти признак ( две страни и един прав ъгъл).

---------------------------------------------------------------------

II-ри случай: [tex]S \in AD[/tex] (вътрешна).

[tex]\angle QCN= \varphi=\angle SDM[/tex] (от еднаквите триъгълници), [tex]\angle CDB=180 ^\circ - \varphi[/tex] (съседен), [tex]\angle CDB=0 ^\circ[/tex] (сума на ъглите за [tex]\triangle CDB[/tex]).

Получихме противиречие, сл. случая е невъзможен.

----------------------------------------------------------------------

III-ти случай: т.[tex]S \in BD[/tex] (вътрешна).

[tex]\angle QCN= \varphi=\angle SDM[/tex] (от еднаквите триъгълници), [tex]DB=DC[/tex]( с-во на медианата в правоъгълен триъгълник), сл.[tex]\varphi=60 ^\circ[/tex].

[tex]\angle CAB=180 ^\circ -90 ^\circ -60 ^\circ =30 ^\circ[/tex]

П.П. Може би е добре в обучението за 8-ми клас да се въведе базова задача, доказваща че съотношението срещулежащ катет към хипотенуза е констатна при постоянен ъгъл.
Тогава горната задача ще се решава на 3 реда.

[Гост]

Благодаря Ви! Много ми хареса решението!

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC с [tex]\angle[/tex] С=90°. Разстоянието от медицентъра до AB е 2 пъти по-малко от разстоянието от медицентъра до катета BC. Намерете големината на [tex]\angle[/tex] CAB в градуси.

Без заглавие - 2024-09-21T094514.820.png (276.86 KiB) Прегледано 250 пъти

Още едно мнение :

В 8 клас се учи,че медианите във всеки триъгълник при пресичането си разделят триъгълника на 6 равнолицеви триъгълника:
$G$ - медицентър,
[tex]G H_{1 } \bot BC , G H_{1 }= 2h , G H_{2 } \bot AB , G H_{2 } = h[/tex]
Нека $AB = c , AC = b , BC = a$
[tex]S_{ABG } = \frac{AB. GH_{2 } }{2} = 2S \Leftrightarrow \frac{c.h}{2} = 2S[/tex]
[tex]S_{BCG } = \frac{BC. GH_{1 } }{2} \Leftrightarrow \frac{a.2h}{2} = 2S[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a.2h}{2}= \frac{c.h}{2} \Leftrightarrow 2a = c \Rightarrow a = \frac{c}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow BC = \frac{1}{2} AB , \angle ACB = 90 ^\circ \Rightarrow \angle BAC = 30 ^\circ[/tex]

[Гост]

Благодаря Ви! Много оригинално и кратко решение