Ъгли в метириъгълник

[Гост]

Моля за помощ със следната задача. Получавам, че е ромб и следователно отговор 75[tex]^\circ[/tex]. А отговорът е 105[tex]^\circ[/tex]. Благодаря предварително!

[Евва]

Докажи , че ABCD е равнобедрен трапец (AD||BC)
ъглите при малката основа [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]BCD=105[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

Благодаря, но получавам, че ъгълът, който сключват диагоналите е прав. Не следва ли да е ромб?

[S.B.]

Благодаря, но получавам, че ъгълът, който сключват диагоналите е прав. Не следва ли да е ромб?

За да бъде ромб,преди всичко трябва да е успоредник,а той не е.
[tex]\angle. DAC = \angle DBC[/tex] е едно необходимо и достатъчно условие четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] да бъде вписан в окръжност.Колежката Евва е права, че това е трапец и то вписан в окръжност т.е. равнобедрен.

[ptj]

Благодаря, но получавам, че ъгълът, който сключват диагоналите е прав. Не следва ли да е ромб?

Нещо си объркал, това не е вярно!

Начертай си първо отсечка [tex]BC[/tex].
След това лъч [tex]\vec p[/tex] с начало [tex]C[/tex],сключващ с нея ъгъл [tex]105 ^\circ[/tex].
Аналогично лъч [tex]\vec q[/tex] с начало [tex]B[/tex], сключващ с [tex]CB[/tex] ъгъл [tex]45 ^\circ[/tex].
Съгласно условието [tex]\vec p \cap \vec q = \{[/tex] т.[tex]D\}[/tex].
Построй лъч [tex]\vec s[/tex] сключващ ъгъл [tex]45 ^\circ[/tex] с [tex]BD[/tex], като той е в различна полуравнина с точкa [tex]C[/tex] спрямо правата [tex]BD[/tex].
Опиши окръжност [tex]k[/tex] около [tex]\triangle BDC[/tex].
Съгласно условието [tex]k \cap s=\{[/tex]т.[tex]A\}[/tex].

Всеки вписан в окръжност трапец е равнобедрен.
Тогава [tex]\angle ABC=\angle BCD=105 ^\circ[/tex]

[Евва]

Имаме четириъгълник ,на който диагоналите са взаимно перпендикулярни .
Такъв четириъг. може да е : квадрат ,или ромб ,или трапец ,или произволен четириъгълник .
[tex]\angle[/tex]DBC и [tex]\angle[/tex]BDA се получават като се пресекат двете прави AD и BC с правата BD .
[tex]\angle[/tex]DBC и [tex]\angle[/tex]BDA са кръстни и са равни [tex]\Rightarrow[/tex] AD||BC
Това значи ,че ABCD е трапец (AD||BC)
Нека отсечките AC и BD се пресичат в т.О .
([tex]\triangle[/tex]AOD) [tex]\angle[/tex]AOD=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]DAO-[tex]\angle[/tex]ODA
[tex]\angle[/tex]AOD=180[tex]^\circ -45 ^\circ-45 ^\circ =90 ^\circ[/tex] (1)

[tex]\angle[/tex]DAO=[tex]\angle[/tex]ODA=45[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]AOD е равнобедрен ,тогава AO=DO (2)

[tex]\angle[/tex]BCO=[tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\angle[/tex]DAC=45[tex]^\circ[/tex] [ кръстни ъгли и AD||BC ]
Получихме [tex]\angle[/tex]ВСО=[tex]\angle[/tex]ОВС=45[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ВСО е равнобедрен т.е. ВО=СО (3)

Използвайки (2) и (3) докажи ,че [tex]\triangle[/tex]ABO[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]DCO (по 1 признак) ,което значи ,че AB=CD (4)
С целия този труд доказахме ,че ABCD е равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow[/tex] ъглите при
малката основа (ВС) са равни .

[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]BCD=105[tex]^\circ[/tex]

[ptj]

Извинявам се, диагоналите наистина са перпендикулярни.

Но това не променя решението ми.