Височини и ъглополовящи

[Гост]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] с височини [tex]AA_{1 },B B_{1 } ,C C_{1 }[/tex].Да се докаже ,че тези височини са ъглополовящи на ъглите в [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]
Моля за помощ!

[KOPMOPAH]

Височини и ъглополовящи.png (23.72 KiB) Прегледано 156 пъти

Върху страните като диаметри построяваме окръжности. Те минават през петите на височините

На еднакво оцветените ъгли съответстват едни и същи хорди, следователно ъглите са равни. Например в червената окръжност на хордата $A_1B_1$ съответстват червените ъгли $\measuredangle B_1AA_1$ и $\measuredangle B_1BA_1$, на хордата $A_1B$ - зелените $\measuredangle BAA_1$ и $\measuredangle BB_1A_1$ и на хордата $AB_1$ - сините $\measuredangle ABB_1$ и $\measuredangle AA_1B_1$. Аналогично се намират подходящите хорди за вписаните ъгли в синята и зелената окръжност.

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] с височини [tex]AA_{1 },B B_{1 } ,C C_{1 }[/tex].Да се докаже ,че тези височини са ъглополовящи на ъглите в [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]
Моля за помощ!

Друг поглед върху задачата:

Без заглавие - 2025-04-01T073426.752.png (309.8 KiB) Прегледано 143 пъти

Колегата KOPMOPAH е прав,че около четириъгълника [tex]AB A_{1 } B_{1 }[/tex] може да се опише окръжност и то е така защото [tex]\angle AA_{1 }B = \angle B B_{1 }A[/tex]
Ако означим [tex]\angle BAC = \alpha[/tex], тогава [tex]\angle B A_{1 } B_{1 } = 180 ^\circ- \alpha[/tex]
[tex]\angle B A_{1 } B_{1 } + \angle B_{1 } A_{1 }C = 180 ^\circ \Leftrightarrow 180 ^\circ - \alpha + \angle B_{1 } A_{1 } C = 180 ^\circ \Rightarrow \angle B_{1 } A_{1 }C = \alpha[/tex]
[tex]\angle A A_{1 }C = \angle A A_{1 } B_{1 } + \alpha = 90 ^\circ \Rightarrow \angle A A_{1 } B_{1 } = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
Аналогично от вписания четириъгълник [tex]AC A_{1 } C_{1 }[/tex] се получава,че [tex]\angle AA_{1 } C_{1 } = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle A A_{1 } B_{1 } = \angle A A_{1 } C_{1 } = 90 ^\circ - \alpha \Rightarrow AA_{1 }[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle B_{1 } A_{1 } C_{1 }[/tex]
По същият начин се доказва и за другите ъглополовящи.

[Гост]

Благодаря и на двамата!