Задачи

[Гост]

Моля реши тези задачи:
1)

20250402_154905.jpg (169.64 KiB) Прегледано 208 пъти

2)

20250402_155156.jpg (768.31 KiB) Прегледано 208 пъти

[ammornil]

За всеки квадратен тричлен от вида [tex]a\cdot{}x^{2} +b\cdot{}x +c[/tex] е изпълнено $a\cdot{}x^{2} +b\cdot{}x +c= a(x-x_{1})(x-x_{2})$, където $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot{}a\cdot{}c}}{2\cdot{}a}$

$\dfrac{3x-1}{2x-3}-\dfrac{x-2}{2+x}= \dfrac{2x+3}{2x^{2}+x-6} \\[6pt] \quad 2x^{2}+x-6 \rightarrow x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot{}2\cdot{}(-6)}}{2\cdot{}2} \Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{-1\pm{}5}{4} \Rightarrow x_{1}=-\dfrac{3}{2}, \quad x_{2}=1 \\[6pt] \quad 2x^{2}+x-6= 2(x-1)\left(x+\dfrac{3}{2}\right) \\[6pt] \dfrac{3x-1}{2x-3}-\dfrac{x-2}{2+x}= \dfrac{\quad2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\quad}{2(x-1)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)} \\[6pt] \quad \text{ДМ: } \begin{cases} 2x-3\ne{}0 \\ 2+x\ne{}0 \\ 2(x-1)\left(x+\dfrac{3}{2}\right) \ne{} 0 \end{cases} \Rightarrow x\ne{\pm\dfrac{3}{2}}, x\ne{-2}, x\ne{1}\\[6pt] \quad \dfrac{3x-1}{2x-3}= \dfrac{2x-3 +x+2}{2x-3}= \dfrac{2x-3}{2x-3}+\dfrac{x+2}{2x-3}=1 +\dfrac{x+2}{2x-3} \\[6pt] \quad \dfrac{x-2}{x+2}= \dfrac{x+2 -4}{x+2}= \dfrac{x+2}{x+2} -\dfrac{4}{x+2}= 1 -\dfrac{4}{x+2} \\[6pt] 1 +\dfrac{x+2}{2x-3} -\left(1 -\dfrac{4}{x+2} \right) =\dfrac{1}{x-1} \\[6pt] 1 +\dfrac{x+2}{2x-3} -1 +\dfrac{4}{x+2} -\dfrac{1}{x-1}= 0 \\[6pt] \underbrace{\dfrac{x+2}{2x-3}+\dfrac{4}{x+2}- \dfrac{1}{x-1}= 0}_{(2x-3)(x+2)(x-1)} \\[6pt] (x+2)^{2}(x-1) +4(2x-3)(x-1)-(2x-3)(x+2) =0 \\[6pt] (x^{2}+4x+4)(x-1) +(8x-12)(x-1) -(2x^{2}+4x-3x-6) =0 \\[6pt] x^{3} -x^{2} +4x^{2} -4x +4x -4 +8x^{2} -8x -12x +12 -2x^{2} -x +6=0 \\[6pt] x^{3} +9x^{2} -21x +14 =0 \\[6pt] $ Това равенство няма рационални корени, може би нещо в условието не е както трябва. Ако първата дроб в даденото имаше равни коефициенти пред $x$ в числителя и в знаменятеля, задачата щеше да се сведе до квадратно уравнение, но както е дадена се получава кубично уравнение. Учили ли сте решаване на кубични уравнения?

[ammornil]

$x\ne{1}, x\ne{-3} \Rrightarrow \dfrac{2x+2}{x^{2} +2x -3} -\dfrac{1}{x+3}=? \\[6pt] \dfrac{2(x+1)}{1(x+1)(x+3)}-\dfrac{1}{x+3}= \dfrac{2-1}{x+3}= \dfrac{1}{x+3}$

[Гост]

$\frac{3x-1}{2x-3}-\frac{x-2}{2+x}=\frac{2x+3}{2x^2+x-6}$

Тъй като сме в 8 клас, очакваме да имаме късмет и да се получава квадратно уравнение.

Затова умножаваме двучлените от първа степен в левите знаменатели и гледаме дали ще получим квадратния тричлен в десния знаменател.

$(2x-3)(2+x)=2x(2+x)-3(2+x)=4x+2x^2-6-3x=2x^2+x-6$ - получихме го, ура!

Сега вече знаем как се разлага знаменателят на дробта вдясно и преобразуваме уравнението:

$\frac{3x-1}{2x-3}-\frac{x-2}{2+x}=\frac{2x+3}{(2x-3)(2+x)}$

Допустимите стойности получаваме от $2x-3\neq0$ и $2+x\neq0$ - $x\neq\frac{3}{2}$ и $x\neq-2$

Вляво привеждаме под общ знаменател - $\frac{(3x-1)(2+x)-(x-2)(2x-3)}{(2x-3)(2+x)}=\frac{2x+3}{(2x-3)(2+x)}$

Знаменателите на равни дроби са равни, следователно са равни и числителите:

$(3x-1)(2+x)-(x-2)(2x-3)=2x+3$

Разкриваме скобите и привеждаме подобните едночлени: $x^2+10x-11=0$

Понеже свободният член -11 е просто число и се разлага на -1.11 или на -11.1, се сещаме да представим $+10=-(-11+1)$

$x^2+10x-11=x^2+11x-x-11=x(x+11)-(x+11)=(x-1)(x+11)=0$

$x_1=1;\ x_2=-11$ - и двете стойности са допустими.

[ammornil]

Да. Благодаря. Грешно съм сметнал корените горе. Дискриминантата е 49 а не 25.