да се реши по 4 различни начини задачата:

[mira1109]

Като използвате стандартните означения за триъгълник ABC и α=2β докажете, че a▲2=b(b+c).

[ganka simeonova]

Каква е тази идиотия?
Аз се сещам за три начина. Нека ъглополовящата е AD.
При стандартни означения:

1н.) Ползваме син. т-ма за АВС.
[tex]\frac{a}{sin2\beta } =\frac{b}{ sin\beta } =>\frac{a}{ b} =\frac{sin2\beta }{ sin\beta } =\frac{2sin\beta cos\beta }{ sin\beta } =2cos\beta[/tex]
Но, [tex]cos\beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac }[/tex]=>
[tex]a^2c=a^2b+bc^2-b^3=>a^2(c-b)=b(c-b)(c+b)=>a^2=b(c+b)[/tex] Или [tex]c=b[/tex], коетопак води до исканото равенство.

2н.) Подобни триъгълници: [tex]\Delta ADC; \Delta BAC[/tex]
От пропорциите за страните=> [tex]\frac{b}{ a} =\frac{CD}{ b} =>CD=\frac{b^2}{ a}[/tex].
Но от свойството на ъглополовящата=> [tex]CD=\frac{ab}{b+c } =>\frac{b^2}{ a} =\frac{ab}{b+c } =>a^2=b(b+c)[/tex]

3н.) [tex]\Delta ADB[/tex]-равнобедрен. Означаваме [tex]AD=DB=x[/tex]. Ползваме ф-та за дължината на ъглополовящата=>
[tex]AD^2=AC.AB-CD.DB=>x^2=bc-x(a-x)=>x=\frac{bc}{a }[/tex],но
[tex]x=\frac{ac}{ b+c}[/tex]=>[tex]\frac{bc}{ a} =\frac{ac}{b+c } =>a^2=b(b+c)[/tex]

[mira1109]

Благодаря!

[ganka simeonova]

Ако някой каже и 4 начин
Явно, пак ще е с тригонометрия?
Ама, за какво са тези 4 начина:)
Най- хубав, е този, с подобните триъгълници.

[mira1109]

Продължаваме страната AС, така че МА=АВ=с. Триъгълника МАВ е равнобедрен. Триъгълниците МСВ и АВС са подобни.
От там и отношението на страните a/(b+c)=b/a. Следователно а.а=b.(b+c)

[ganka simeonova]

Продължаваме страната AС, така че МА=АВ=с. Триъгълника МАВ е равнобедрен. Триъгълниците МСВ и АВС са подобни.
От там и отношението на страните a/(b+c)=b/a. Следователно а.а=b.(b+c)

Чудесно
Заслужаваш +