Задача 5

[antoniy]

IMG_5611.jpeg (1004.04 KiB) Прегледано 224 пъти

[S.B.]

Прикачения файл IMG_5611.jpeg вече е недостъпен

Без заглавие - 2025-05-21T065843.854.png (243.95 KiB) Прегледано 198 пъти

Дадено:
[tex]\triangle ABC,AB = 7,AC = 6,BC = 5[/tex],вписана окръжност $k$, $t$ - допирателна към $k$.
[tex]t \cap k = T,t \cap AC = M ,t \cap BC = N[/tex]
Търсим [tex]P_{MNC } = ?[/tex]
Точките $P,K,Q$ са допирни точки на окръжността със страните на [tex]\triangle ABC[/tex] както е показано на чертежа.
[tex]AK = AP = x, PC = QC = 6 - x , KB = BQ = 7 - x[/tex]
[tex]BQ + QC = BC \Leftrightarrow 7 - x + 6 - x = 5 \Leftrightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4[/tex]

$PM = MT , TN = NQ$ (като допирателни към окръжност от външна точка)
[tex]MN = MT + TN \Leftrightarrow MN = PM + NQ[/tex]
[tex]P_{MNC } = CN + CM + MN \Leftrightarrow P_{MNC }= CN + CM + PM + NQ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P_{MNC } = (CN + NQ) + (CM + PM) = 6 - x + 6 - x = 2(6-x)[/tex]
$$\Rightarrow P_{CMN } = 4 cm $$

[Darina73]

[tex]\triangle[/tex]АВС -правоъгълен [tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex] и a>b
b=?

Нека впис. окр. се допира до АС ,ВС и АВ съответно в т.Р, т.М и т.Н .
Докажи ,че ОМСР е квадрат . Тогава РС= r [tex]\Rightarrow[/tex] АР=b- r
AH=AP ( допирателни към окр. от т.А ) ; AH=b- r

По същия начин намираме BH=a-r
AB=AH+BH=a+b-2r
AB=8 (дадено) [tex]\Rightarrow[/tex] a+b= 2r+8 (1)
По условие a-b= 2r (2)

От (1) изваждаме (2) b =4 см. т.е. АС=4 см.
Като знаем АС =4 см. и АВ=8 см. в правоъгълния [tex]\triangle[/tex]АВС ,лесно ще намерим другите два ъгъла .

[Гост]

[tex]\triangle[/tex]АВС -правоъгълен [tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex] и a>b
b=?

Нека впис. окр. се допира до АС ,ВС и АВ съответно в т.Р, т.М и т.Н .
Докажи ,че ОМСР е квадрат . Тогава РС= r [tex]\Rightarrow[/tex] АР=b- r
AH=AP ( допирателни към окр. от т.А ) ; AH=b- r

По същия начин намираме BH=a-r
AB=AH+BH=a+b-2r
AB=8 (дадено) [tex]\Rightarrow[/tex] a+b= 2r+8 (1)
По условие a-b= 2r (2)

От (1) изваждаме (2) b =4 см. т.е. АС=4 см.
Като знаем АС =4 см. и АВ=8 см. в правоъгълния [tex]\triangle[/tex]АВС ,лесно ще намерим другите два ъгъла .

Това май е задача 4,не задача 5....