Турнир по шах

[Гост]

Моля някой да ми обясни тази задача и ако може да ми дадете примерна подобна?

[Davids]

Нека играчите са $n$ на брой. Първият ще изиграе по една среща с останалите $n-1$ играчи, след което никой няма да играе повече с него. Така за втория остават $n-2$ нови противника, след което и той се е наиграл. За третия остават $n-3$ и т.н. В крайна сметка броят изиграни мачове се свежда до сумата на числата от $n-1$ до 1. По принцип следва да ти е известен общия вид $\sum_{k=1}^nk = \frac{n(n+1)}{2}$, и така нашата сума е $\sum_{k=1}^{n-1}k = \frac{(n-1)n}{2} = 45$, откъдето си личи, че $n=10$.

[Гост]

Благодаря, може ли някой да ми я обясни на ниво 8.клас, моля?

[geoder]

Благодаря, може ли някой да ми я обясни на ниво 8.клас, моля?

Горното обяснение е на ниво 8. клас. По този начин [tex]\sum_{i=1}^{n }i[/tex] се отбелязва сборът на първите n елемента на някаква редица от числа, определена от общата формула за всеки от тях, която се отбелязва вдясно от знака за сума (в случая горната сума е от първите n естествени числа, а тъй като всеки отбор играе n-1 срещи, то сумата, отговаряща на задачата, ще е [tex]\sum_{i=0}^{n-1 }i[/tex]). Знаем, че сборът на първите n естествени числа е [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex] (вижте метод на Гаус), а в случая търсим кои са първите [tex]n-1[/tex] естествени числа, такива, че сборът да им е равен на 45. Следователно решението на задачата е [tex]\frac{(n-1)n}{2} = 45[/tex], откъдето [tex]n = 10[/tex].

[grav]

Благодаря, може ли някой да ми я обясни на ниво 8.клас, моля?

Тъй като става дума за сума, може да събираш числата в произволен ред. Сумата от n-1 до 1 е същата като сумата на числата от 1 до n-1. Започваш да събираш 1 плюс 2 плюс 3 и т.н. докато стигнеш до 45. Това става като събереш до 9. Следователно n-1=9.

[ammornil]

Представете си го така: всички участници в турнира са получили номер на участник, който за първия участник е $1$, за втория записал се е $2$, и т.н. Понеже всеки участник играе само една партия със всеки друг, за улеснение това може да се каже и така: кой да е участник играе с белите фигури срещу тези участници, които имат по-малък пореден номер от неговия, и играе с черните срещу всеки участник с пореден номер по-голям от неговия. Така последният участник играе най-много партии с белите фигури, но това не е от значение за решението.

Нека $k$ е поредният номер на участника. Тогава числото $k-1$ показва колко игри играе този участник с белите фигури според горепосоченото правило. Следователно, ако сумираме броя на всички игри изиграни с белите фигури, това е общият брой изиграни игри, което се търси. Както казва grav, можем да намерим $k-1$ като обърнем реда на числата и започнем от $1$, и прибавяме следващо цяло число докато сумата стане $45$. И като намерим за кое число $x$ сумата е $45$, тогава броят на играчите е $x+1$.

[KOPMOPAH]

Моля някой да ми обясни тази задача и ако може да ми дадете примерна подобна?

Аз бих обяснил на осмокласника по следния начин: да допуснем, че участниците са точки в равнината, а изиграните партии са отсечките, които ги свързват. Всяка от тези $n$ точки се свързва с останалите $n-1$ точки, значи имаме $n(n-1)$ отсечки. Но... всяка отсечка е броена два пъти - от всеки край по един път, следователно окончателният отговор е $\frac{n(n-1)}{2}$. Остава да се реши квадратното уравнение $$\frac{n(n-1)}{2}=45$$Предполагам в $8$ клас се решават квадратни уравнения.

В така формулираната задача не помислено, че участниците са в неравностойно положение - част от тях ще играят повече пъти с белите фигури, което в шахмата се счита за предимство. Всеки участник играе $9$ партии...