Тест

[Гост]

Моля за помощ за 6 и 7 ма

IMG-20250928-WA0000.jpg (182.95 KiB) Прегледано 186 пъти

[Davids]

За 6-та задача:
$2\frac{x^2+2}{x} - 3\frac{x}{x^2+2} = 5$
Полагаме $t := \frac{x^2+2}{x} \ne 0$ и уравнението придобива вида $2t - \frac{3}{t} = 5$. Понеже $t \ne 0$, умножаваме по $t$ двете страни и получаваме:
$2t^2 - 5t - 3 = 0$
Корените са $t_1 = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = 3$

Връщаме полагането за двата случая:
1)
$\frac{x^2+2}{x} = -\frac{1}{2}$
Умножаваме двете страни по $2x \ne 0$:
$2x^2 + 4 = -x$
$2x^2 + x + 4 = 0$
Дискриминанта отрицателна, реални корени няма. Но има комплексни, и тяхната сума е $-\frac{1}{2}$, но предполагам, че това не влиза в сметките на автора.

2)
$\frac{x^2+2}{x} = 3$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Корени са 1 и 2, според което общата сума става 3, т.е. верен отговор е в).

[Davids]

За 7-ма задача: тъй като е със затворени отговори, най-ефикасно е просто да се пробват всички комбинации Но ние не сме тук за това, та ако искаме хубаво решение, действаме подобно на 6-та. Полагаме $t := x^2 - x + 1 > 0$ и уравнението придобива вида:

$\frac{3}{t} + \frac{4}{t+1} = 2$
$3(t+1) + 4t = 2t(t+1)$
$3t + 3 + 4t = 2t^2 + 2t$
$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Корени са отново $3$ и $-\frac{1}{2}$. Нататък можеш ли сам/а?