Триъгълник

[Гост]

В правоъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC
([tex]\angle[/tex]C = 90°) и ([tex]\angle[/tex]B = 60°), т M е среда на AB, а G е медицентър. Ако CG = 8 см. намерете дължината на BC и разстоянието от т.M до страната AC.

[ammornil]

Screenshot 2026-01-10 151245.png (48.57 KiB) Прегледано 75 пъти

$\\[24pt] \triangle{ABC}, \quad \angle{ACB}=90^{\circ}, \quad \angle{ABC}=60^{\circ} \\[6pt] \begin{cases} M\in{AB}, \quad AM=BM \\ N\in{BC}, \quad BN=NC \\ P\in{AC}, \quad AP=PC \end{cases}, \quad CM\cap{AN}= G, CG=8 \\[6pt] \quad AC=?, \quad MP= ?\\[12pt] \dfrac{CG}{GM}=\dfrac{3}{1} \Rightarrow GM= \dfrac{CG}{3}= \dfrac{8}{3} \\[6pt] CM= CG +GM= 8 +\dfrac{8}{3}= \dfrac{32}{3} \\[6pt] \angle{ACB}=90^{\circ} \Rightarrow AM=MB=MC= R_{оп} \Rightarrow AB= 2\cdot{CM}= \dfrac{64}{3} \\[6pt] \triangle{AMC}: \quad \begin{cases} AM= MC \\ AP= PC \end{cases} \Rightarrow MP\bot{AC} \\[6pt] \angle{BAC}= 90^{\circ} -\angle{ABC}= 30^{\circ} \Rightarrow BC= \dfrac{AB}{2}= \dfrac{32}{3} \\[6pt] AC^{2} +BC^{2}= AB^{2} \quad \Leftrightarrow \quad AC= \sqrt{AB^{2} -BC^{2}}= \sqrt{\dfrac{64^{2}-32^{2}}{9}}= \sqrt{\dfrac{30\cdot{96}}{9}}= 8\sqrt{5} \\[6pt] S_{ABC}= \dfrac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{BC}= \dfrac{1}{2}\cdot{8\sqrt{5}}\cdot{\dfrac{32}{3}}= \dfrac{128\sqrt{5}}{3} \\[6pt] S_{AMC}= S_{BMC}= \dfrac{1}{2}\cdot{S_{ABC}}= \dfrac{64\sqrt{5}}{3} \\[6pt] S_{AMC}= \dfrac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{MP} \Rightarrow MP= \dfrac{2\cdot{S_{AMC}}}{AC}= \dfrac{2\cdot{\dfrac{64\sqrt{5}}{3}}}{8\sqrt{5}}= \dfrac{16}{3}$

Скрит текст: покажи

$BC$ може да се намери и така: $\\[6pt] \angle{ACB}=90^{\circ} \Rightarrow AM=MB=MC= R_{оп} \\[6pt] \triangle{BMC}, \quad BM=CM \Rightarrow \angle{MCB}=\angle{MBC}=60^{\circ} \Rightarrow \angle{BMC}= 180^{\circ} - (\angle{MCB}+\angle{MBC})= 60^{\circ} \\[6pt] \Rightarrow BC= MC= MB= \dfrac{32}{3}$

Проверете сметките за грешки

[Гост]

Много благодаря!

[Darina73]

ВС= ? МР= ?

Скрит текст: покажи

Пращам мое решение ,защото виждам грешки в първите два реда .

Медицентърът т. G дели медианата СМ в отношение 2:1 считано от върха -т.С .

[tex]\frac{CG}{GM} =\frac{2}{1}[/tex] ;2GM=CG ;2GM=8 ;GM=4 см.
CM=CG+GM =8+4 ;CM=12 см.

В правоъгълен тр-к медианата към хипотенузата е равна на половината от дължината на хипотенузата .

СМ=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] ;12=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] ;АВ=24 см.
[tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]ВАС=30[tex]^\circ \Rightarrow[/tex] ВС=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] ;ВС=[tex]\frac{24}{2}[/tex]=12 см.
Разстоянието МР което търсим е перпендикулярно на страната АС .

Дадено е ,че ВС също е перпендикулярно на страната АС . Следователно МР || ВС (1)

МР минава през т.М среда на АВ (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] МР е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]АВС

МР=[tex]\frac{ВС}{2}[/tex] ;МР=[tex]\frac{12}{2}[/tex]=6 см.

[Гост]

Много, много благодаря!

[ammornil]

Да, объркал съм отношението на частите на медианата спрямо медицентъра. Моля за извинение.