Re: Трапец

[Darina73]

Даден е трапец ABCD (AB||CD ; AB>CD) , при който ортогоналната проекция на точка С
в/у правата АВ попада вън от отсечката АВ .
AD=BD=CD= 13 и BC=10
AC= ?

[ammornil]

Скрит текст: покажи

Screenshot 2026-04-26 200135.png (34.4 KiB) Прегледано 94 пъти

[S.B.]

Даден е трапец ABCD (AB||CD ; AB>CD) , при който ортогоналната проекция на точка С
в/у правата АВ попада вън от отсечката АВ .
AD=BD=CD= 13 и BC=10
AC= ?

Без заглавие - 2026-04-26T221922.653.png (262.38 KiB) Прегледано 93 пъти

Нека опишем окръжност [tex]k(D,r = 13)[/tex]
[tex]AD = BD = CD = 13 \Rightarrow A,B,C \in k[/tex]
[tex]\triangle ADC[/tex] е равнобедрен, [tex]\Rightarrow \angle DAC= \angle DCA = \alpha[/tex]
[tex]\angle ACD = \angle BAC = \alpha[/tex] (кръстни)
[tex]\angle CAB = \displaystyle\frac{\overset {\displaystyle\frown}{BC}}{2}[/tex]
[tex]\angle CAD = \angle CAM = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{MC}}{2}[/tex]
[tex]\angle CAM = \angle CAB \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{BC} = \overset{\displaystyle\frown}{MC}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle BDC = \angle CDM[/tex] (централни ъгли, които се измерват с равни дъги)
[tex]\Rightarrow \triangle BDC \cong \triangle CDM[/tex] (по първи признак) [tex]\Rightarrow CM = BC = 10[/tex]
Хордата $AM$ минава през центъра $D$ [tex]\Rightarrow AM[/tex] е диаметър [tex]\Rightarrow \angle ACM = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle AMC[/tex] е правоъгълен и от 6 клас се знае, че квадрата на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите:$$AM^{2 } = AC^{2 } + CM^{2 } $$
[tex]\Rightarrow AC^{2 } = AM^{2 } - CM^{2 } \Leftrightarrow AC^{2 } = 26^{2 } - 10^{2 } \Leftrightarrow AC^{2 } =(26 + 10)(26 - 10)= 36.16[/tex]
$$AC = 24 $$

[ammornil]

Само не виждам показано защо $\angle{CAM}= \angle{CAB}$

[S.B.]

Само не виждам показано защо $\angle{CAM}= \angle{CAB}$

Ами техническа грешка:
[tex]\angle CAM = \angle CAD[/tex]