задача от ортоцентър

[Гост]

В триъгълник ABC са построени височините AA1, BB1 и CC1. Ако α = 54°, β = 70° и γ = 56°, да се
намерят ъглите на триъгълник A1B1C1.

[ammornil]

Screenshot 2026-05-17 221031.png (57.28 KiB) Прегледано 127 пъти

$\\[12pt]\triangle{ABC}, \quad \angle{BAC}= \alpha=54^{\circ}, \quad \angle{ABC}= \beta=70^{\circ}, \quad \angle{ACB}= \gamma= 56^{\circ} \\ \quad \begin{cases} A_{1} \in{BC}, \quad AA_{1}\bot{BC} \\ B_{1} \in{AC}, \quad BB_{1}\bot{AC} \\ C_{1} \in{AB}, \quad CC_{1}\bot{AB} \end{cases} \\[6pt] \angle{A_{1}B_{1}C_{1}}= ?, \quad \angle{A_{1}C_{1}B_{1}}= ?, \quad \angle{B_{1}A_{1}C_{1}}= ? \\ \rule{24em}{1pt} \\[12pt] \begin{cases} \angle{AB_{1}B}= \angle{AC_{1}C}= 90^{\circ} \\ \angle{BAB_{1}} = \angle{CAC_{1}} = \alpha \\ \angle{ABB_{1}}= \angle{ACC_{1}}= 90^{\circ} - \alpha \end{cases} \Rightarrow \triangle{AB_{1}B} \sim \triangle{AC_{1}C} \Rightarrow \dfrac{AB_{1}}{AC_{1}} = \dfrac{AB}{AC} \Leftrightarrow \dfrac{AB_{1}}{AB}= \dfrac{AC_{1}}{AC} \\[6pt] \begin{cases} \dfrac{AB_{1}}{AB}= \dfrac{AC_{1}}{AC} \\ \angle{B_{1}AC_{1}} = \angle{BAC} \end{cases} \Rightarrow \triangle{AB_{1}C_{1}} \sim \triangle{ABC} \Rightarrow \begin{cases} \angle{AB_{1}C_{1}}= \angle{ABC}= \beta \\ \angle{AC_{1}B_{1}} = \angle{ACB}= \gamma \end{cases} \\[6pt] $ Аналогично се доказват $ \\ \triangle{BA_{1}C_{1}} \sim \triangle{BAC} \Rightarrow \begin{cases} \angle{BA_{1}C_{1}}= \angle{BAC}= \alpha \\ \angle{BC_{1}A_{1}} = \angle{BCA}= \gamma \end{cases} \\ $ и $ \\ \triangle{CB_{1}A_{1}} \sim \triangle{CBA} \Rightarrow \begin{cases} \angle{CB_{1}A_{1}}= \angle{ABC}= \beta \\ \angle{CA_{1}B_{1}} = \angle{CAB}= \alpha \end{cases} \\[12pt] \begin{cases} \angle{A_{1}B_{1}C_{1}}= 180^{\circ} -2\beta \\ \angle{A_{1}C_{1}B_{1}}= 180^{\circ} -2\gamma\\ \angle{B_{1}A_{1}C_{1}}= 180^{\circ} -2\alpha \end{cases} $

[S.B.]

В триъгълник ABC са построени височините AA1, BB1 и CC1. Ако α = 54°, β = 70° и γ = 56°, да се
намерят ъглите на триъгълник A1B1C1.

Без заглавие - 2026-05-19T083057.447.png (367.36 KiB) Прегледано 86 пъти

Още един поглед върху задачата:

От правоъгълните триъгълници: [tex]A A_{1 }B , \triangle AB B_{1 }[/tex] и [tex]\triangle AC C_{1 }[/tex] определям как височините [tex]AA_{1 }, B B_{1 }[/tex] и [tex]C C_{1 }[/tex] разделят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\angle \alpha =54 ^\circ = 34 ^\circ + 20 ^\circ[/tex]
[tex]\angle \beta = 70 ^\circ = 36 ^\circ + 34 ^\circ[/tex]
[tex]\angle \gamma = 56 ^\circ = 36 ^\circ + 20 ^\circ[/tex]
Височините [tex]A A_{1 } ,B B_{1 } ,C C_{1 }[/tex],пресичайки се в ортоцентъра т.$H$, заедно с петите си [tex]A_{1 }, B_{1 }, C_{1 }[/tex] разделят [tex]\triangle ABC[/tex] на 3 четириъгълника :
[tex]A C_{1 }H B_{1 } , B C_{1 }H A_{1 }[/tex] и [tex]C B_{1 }H A_{1 }[/tex]. Около всеки от тях може да се опише окръжност.(ЗАЩО?)

Четириъгълник [tex]AC_{1 }H B_{1 }:[/tex]

[tex]\angle HA B_{1 } = \angle H C_{1 } B_{1 } = \overset{\displaystyle \frown}{\displaystyle \frac{ B_{1 }H }{2}} = 34 ^\circ[/tex]

[tex]\angle HA C_{1 } = \angle H B_{1 } C_{1 } = \overset{\displaystyle\frown}{\displaystyle \frac{ C_{1 }H }{2}} = 20 ^\circ[/tex]

Аналогично:

От четириъгълник [tex]C_{1 }B A_{1 }H:[/tex]
[tex]\angle HB C_{1 } = H A_{1 } C_{1 } = 36 ^\circ , \angle HB A_{1 } = H C_{1 } A_{1 } = 34 ^\circ[/tex]

От четириъгълник [tex]C B_{1 }H A_{1 }[/tex] :
[tex]\angle B_{1 }CH = \angle B_{1 } A_{1 }H = 36 ^\circ , \angle A_{1 }CH = \angle A_{1 } B_{1 }H = 20 ^\circ[/tex]

И така за ъглите на [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] получаваме:
[tex]\angle B_{1 } A_{1 } C_{1 } = 2.36 ^\circ , \angle A_{1 } B_{1 } C_{1 } = 2.20 ^\circ , \angle A_{1 } C_{1 } B_{1 } = 2.34 ^\circ[/tex]

Търсените ъгли са:
$$72 ^\circ , 40 ^\circ, 68 ^\circ$$