задача от ортоцентър

[Гост]

В триъгълник ABC са построени височините AA1, BB1 и CC1. Ако α = 54°, β = 70° и γ = 56°, да се
намерят ъглите на триъгълник A1B1C1.

[ammornil]

Screenshot 2026-05-17 221031.png (57.28 KiB) Прегледано 6 пъти

$\\[12pt]\triangle{ABC}, \quad \angle{BAC}= \alpha=54^{\circ}, \quad \angle{ABC}= \beta=70^{\circ}, \quad \angle{ACB}= \gamma= 56^{\circ} \\ \quad \begin{cases} A_{1} \in{BC}, \quad AA_{1}\bot{BC} \\ B_{1} \in{AC}, \quad BB_{1}\bot{AC} \\ C_{1} \in{AB}, \quad CC_{1}\bot{AB} \end{cases} \\[6pt] \angle{A_{1}B_{1}C_{1}}= ?, \quad \angle{A_{1}C_{1}B_{1}}= ?, \quad \angle{B_{1}A_{1}C_{1}}= ? \\ \rule{24em}{1pt} \\[12pt] \begin{cases} \angle{AB_{1}B}= \angle{AC_{1}C}= 90^{\circ} \\ \angle{BAB_{1}} = \angle{CAC_{1}} = \alpha \\ \angle{ABB_{1}}= \angle{ACC_{1}}= 90^{\circ} - \alpha \end{cases} \Rightarrow \triangle{AB_{1}B} \sim \triangle{AC_{1}C} \Rightarrow \dfrac{AB_{1}}{AC_{1}} = \dfrac{AB}{AC} \Leftrightarrow \dfrac{AB_{1}}{AB}= \dfrac{AC_{1}}{AC} \\[6pt] \begin{cases} \dfrac{AB_{1}}{AB}= \dfrac{AC_{1}}{AC} \\ \angle{B_{1}AC_{1}} = \angle{BAC} \end{cases} \Rightarrow \triangle{AB_{1}C_{1}} \sim \triangle{ABC} \Rightarrow \begin{cases} \angle{AB_{1}C_{1}}= \angle{ABC}= \beta \\ \angle{AC_{1}B_{1}} = \angle{ACB}= \gamma \end{cases} \\[6pt] $ Аналогично се доказват $ \\ \triangle{BA_{1}C_{1}} \sim \triangle{BAC} \Rightarrow \begin{cases} \angle{BA_{1}C_{1}}= \angle{BAC}= \alpha \\ \angle{BC_{1}A_{1}} = \angle{BCA}= \gamma \end{cases} \\ $ и $ \\ \triangle{CB_{1}A_{1}} \sim \triangle{CBA} \Rightarrow \begin{cases} \angle{CB_{1}A_{1}}= \angle{ABC}= \beta \\ \angle{CA_{1}B_{1}} = \angle{CAB}= \alpha \end{cases} \\[12pt] \begin{cases} \angle{A_{1}B_{1}C_{1}}= 180^{\circ} -2\beta \\ \angle{A_{1}C_{1}B_{1}}= 180^{\circ} -2\gamma\\ \angle{B_{1}A_{1}C_{1}}= 180^{\circ} -2\alpha \end{cases} $