Вп. окръжност

[Гост]

Дад. е равноб. тр. ABC с основа = на 12 см. Допирната точка на вписаната в тр. окр. дели бедрото в съотношение 3:2, считано от върха C. Да се намери периметъра на тр.

[Davids]

P_20260518_194923.jpg (1.58 MiB) Прегледано 175 пъти

$OH$ и $OL$ са радиуси на вписаната окръжност. Тогава $\triangle OLC \sim \triangle AHC$ и оттам имаме отношенията:
$\frac{r} {6} = \frac{3x}{y+r} = \frac{y} {5x}$

От второто равно получаваме:
$15x^2 = y^2 + yr$

По питагорова теорема за $\triangle OLC$ имаме $y^2 = 9x^2 + r^2$, заместваме горе:

$15x^2 = 9x^2 + r^2 + yr$
$6x^2 = r^2 + yr$

Сега от първото равно имаме $r^2 + yr = 18x$ и като заместим, получаваме:
$6x^2 = 18x$
$x=3$

Бедрото е $5x = 15$ и така периметърът е $42$.

[Гост]

Благодаря!
Подобни триъгълници не се ли изучават в 9 клас?

[Davids]

Вижте, тук вече не съм сигурен. Отдавна беше и съм забравил, а и вероятно се е променила програмата за последните 10 години. Свойство на ъглополовящата учили ли сте? Ако да, може и с две питагорови за $\triangle AHC$ и $\triangle OLC$ и едно отношение от ъглополовящата $AO$: $\frac{OH} {OC} = \frac{AH} {AC}$, сиреч $\frac{r} {y} = \frac{6}{5x}$

[Гост]

Благодаря!

[S.B.]

Дад. е равноб. тр. ABC с основа = на 12 см. Допирната точка на вписаната в тр. окр. дели бедрото в съотношение 3:2, считано от върха C. Да се намери периметъра на тр.

Без заглавие - 2026-05-19T135422.820.png (210.06 KiB) Прегледано 132 пъти

Още едно мнение:

Нека допирните точки на окръжността със страните на триъгълника са $M , N$ и $P$.
Ще използвам свойството на допирателните от външна точка къ окръжност:
$CP = CN = 3x$ , $AP = AM = 2x$ ,$BM = BN = 2x$
[tex]AB = AM + MB \Rightarrow 12 = 4x \Rightarrow x = 3[/tex]
[tex]AC = AP + PC \Leftrightarrow AC = 2x + 3x \Rightarrow AC = 5x \Rightarrow AC = BC =15[/tex]
[tex]P_{ABC } = AC + BC + AB \Leftrightarrow P_{ABC } = 15 + 15 + 12[/tex]
$$\Rightarrow P_{ABC } = 42$$