Вп. окръжност

[Гост]

Дад. е равноб. тр. ABC с основа = на 12 см. Допирната точка на вписаната в тр. окр. дели бедрото в съотношение 3:2, считано от върха C. Да се намери периметъра на тр.

[Davids]

P_20260518_194923.jpg (1.58 MiB) Прегледано 24 пъти

$OH$ и $OL$ са радиуси на вписаната окръжност. Тогава $\triangle OLC \sim \triangle AHC$ и оттам имаме отношенията:
$\frac{r} {6} = \frac{3x}{y+r} = \frac{y} {5x}$

От второто равно получаваме:
$15x^2 = y^2 + yr$

По питагорова теорема за $\triangle OLC$ имаме $y^2 = 9x^2 + r^2$, заместваме горе:

$15x^2 = 9x^2 + r^2 + yr$
$6x^2 = r^2 + yr$

Сега от първото равно имаме $r^2 + yr = 18x$ и като заместим, получаваме:
$6x^2 = 18x$
$x=3$

Бедрото е $5x = 15$ и така периметърът е $42$.

[Гост]

Благодаря!
Подобни триъгълници не се ли изучават в 9 клас?

[Davids]

Вижте, тук вече не съм сигурен. Отдавна беше и съм забравил, а и вероятно се е променила програмата за последните 10 години. Свойство на ъглополовящата учили ли сте? Ако да, може и с две питагорови за $\triangle AHC$ и $\triangle OLC$ и едно отношение от ъглополовящата $AO$: $\frac{OH} {OC} = \frac{AH} {AC}$, сиреч $\frac{r} {y} = \frac{6}{5x}$

[Гост]

Благодаря!