задача описана окръжност

[Гост]

Capture.JPG (9.44 KiB) Прегледано 32 пъти

[Davids]

P_20260520_165621.jpg (1.95 MiB) Прегледано 29 пъти

Нека $BH = h$ е височината/ъглополовящата/медианата към основата. Понеже $\angle HCB = 30°$, то $BC = 2h$. По питагорова теорема за $\triangle HBC$ намираме $h = 4\sqrt{3}$.

Построяваме $\triangle OCB$, където $OC = OB = R$ и оттам $OH = R-h$. Отново по питагорова теорема за $\triangle OHC$ намираме $R = 8\sqrt{3}$.

Понеже Q е медицентър, то $BQ = \frac{2}{3}h$. И така търсеното разстояние е $OQ = R - \frac{2}{3}h = \frac{16}{3}\sqrt{3}$.

Постфактум поправка: всъщност, $\triangle OCB$ е равностранен, така че директно $R = 2h$ и от втората питагорова теорема няма нужда

[ammornil]

Screenshot 2026-05-20 160921.png (55.62 KiB) Прегледано 21 пъти

$\\[12pt] \triangle{ABC}, \quad AB=BC, \quad AC=24, \quad \angle{ABC}=120^{\circ} \\ M\in{AC}, AM=MC, \quad N\in{AB}, AN=NB, \quad BM\cap{CN}=Q \\ k(O, R), \quad OA=OB=OC \\[6pt] OQ=?\\[12pt] \triangle{ABC}, BM= h_{B}= l_{B}= m_{B} \Rightarrow \begin{cases} AM=CM=\dfrac{AC}{2}= 12 \\ \angle{ABM}= \angle{CBM}= 60^{\circ} \end{cases} \\[6pt] \triangle{ABO}: \quad AO=BO=R \Rightarrow \angle{OAB}= \angle{OBA}= 60^{\circ} \Rightarrow \angle{AOB}=60^{\circ} \Rightarrow AB=OA=OB=R \\[6pt] \triangle{AMB}:\quad \begin{cases} \angle{AMB}=90^{\circ} \\ \angle{MBA}= 60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BAO}=30^{\circ} \Rightarrow BM=\dfrac{AB}{2}= \dfrac{R}{2} \\[6pt] \quad AB^{2} = AM^{2} +MB^{2} \Leftrightarrow R^{2}= 12^{2} +\dfrac{R^{2}}{4} \Leftrightarrow 3R^{2}=144 \Leftrightarrow R=4\sqrt{3} \\[6pt] Q \text{ е медицентър } \Rightarrow MQ=\dfrac{1}{3}\cdot{MB}= \dfrac{1}{3}\cdot{}\dfrac{R}{2}= \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\[6pt] OM= OB-MB= R-\dfrac{R}{2}= \dfrac{R}{2}= 2\sqrt{3} \\[6pt] OQ= OM +MQ= 2\sqrt{3} +\dfrac{2\sqrt{3}}{3}= \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$

[ammornil]

Имам изчислителна грешка горе

$\\[12pt] \triangle{ABC}, \quad AB=BC, \quad AC=24, \quad \angle{ABC}=120^{\circ} \\ M\in{AC}, AM=MC, \quad N\in{AB}, AN=NB, \quad BM\cap{CN}=Q \\ k(O, R), \quad OA=OB=OC \\[6pt] OQ=?\\[12pt] \triangle{ABC}, BM= h_{B}= l_{B}= m_{B} \Rightarrow \begin{cases} AM=CM=\dfrac{AC}{2}= 12 \\ \angle{ABM}= \angle{CBM}= 60^{\circ} \end{cases} \\[6pt] \triangle{ABO}: \quad AO=BO=R \Rightarrow \angle{OAB}= \angle{OBA}= 60^{\circ} \Rightarrow \angle{AOB}=60^{\circ} \Rightarrow AB=OA=OB=R \\[6pt] \triangle{AMB}:\quad \begin{cases} \angle{AMB}=90^{\circ} \\ \angle{MBA}= 60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BAO}=30^{\circ} \Rightarrow BM=\dfrac{AB}{2}= \dfrac{R}{2} \\[6pt] \quad AB^{2} = AM^{2} +MB^{2} \Leftrightarrow R^{2}= 12^{2} +\dfrac{R^{2}}{4} \Leftrightarrow 3R^{2}=4\cdot{144} \Leftrightarrow \red{R=8\sqrt{3}} \\[6pt] Q \text{ е медицентър } \Rightarrow MQ=\dfrac{1}{3}\cdot{MB}= \dfrac{1}{3}\cdot{}\dfrac{R}{2}= \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \\[6pt] OM= OB-MB= R-\dfrac{R}{2}= \dfrac{R}{2}= 4\sqrt{3} \\[6pt] OQ= OM +MQ= 4\sqrt{3} +\dfrac{4\sqrt{3}}{3}= \dfrac{16\sqrt{3}}{3}$