Пак съм аз и пак със задача :)

[Nergal]

Здравейте,за момента учим за квадратно уравнение но не мога да разбера,защо въпросните задачи не ми излизат

x2 - 2√2x + 2 = 0
x2 + 2x - 1 = 0
3x2 + 2x +1 = 0
1 + x - x2 = 0
4x2 - 4√3x + 3
2x2 - 7x + 3 = 0

(цифрите СЛЕД x-a са степени)

Ако някой може да ми помогне,ще съм благодарен

[Toshko96]

[tex]x^2-2\sqrt{2}x+2=0[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=-2\sqrt{2}[/tex] [tex]c=2[/tex]
Тъй като b е четно число,ще използваме кратката формула.В нашият клас с госпожата решихме да я означаваме с D*.
[tex]D*=m^2-ac[/tex] m=[tex]\frac{b}{2}[/tex](ползваме тази формула,ако b е четно число.)
[tex]m=-\sqrt{2}[/tex]
[tex]D*=(-\sqrt{2})^2-(1.2)[/tex]
[tex]D*=2-2=0[/tex].Ако дискриминантата или кратката формула е 0,това ще рече,че имаме 1 двукратен корен.

[tex]x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{D*}}{a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{1}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\sqrt{2}[/tex]

[tex]x^2+2x-1=0[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=2[/tex] [tex]c=-1[/tex]
[tex]m=1[/tex]
[tex]D*=m^2-ac[/tex]
[tex]D*=1^2-[1.(-1)]=1^2-(-1)[/tex]
[tex]D*=1+1=2[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{D*}}{a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{1}[/tex]
[tex]x_1=-1+\sqrt{2}[/tex]
[tex]x_2=-1-\sqrt{2}[/tex]

[tex]3x^2+2x+1=0[/tex]
Тук използваш кратката формула както при горите 2.

[tex]1+x-x^2[/tex]
За да се вижда по-добре ще го запишем така

[tex]-x^2+x+1[/tex]
[tex]a=-1[/tex] [tex]b=1[/tex] [tex]c=1[/tex]
Тук ще ползваме дискриминантата.
[tex]D=b^2-4ac[/tex]
[tex]D=1^2-(4.(-1).1)[/tex]
[tex]D=1^2-(-4)[/tex]
[tex]D=1+4=5[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{-2}[/tex]
[tex]x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{-2}[/tex]
[tex]x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{-2}[/tex]

[tex]4x^2-4\sqrt{3}x+3[/tex]
Тук ползваме кратката формула.

[tex]2x^2-7x+3=0[/tex]
Решаваме със дискриминантата.

[Nergal]

Благодаря,ако може още 1 задача,защото днес цял ден я мъча и не можах да стигна до решение.

x2 - (1+√3)x +√3

x2 + (3+√2)x + 3√2

[Toshko96]

[tex]x^2-(1+\sqrt{3})x+\sqrt{3}[/tex]
Тук ще използваме нещо ново,което госпожа Ганка Симеонова обесни в тази тема.
viewtopic.php?f=36&t=3582
Виж четвъртия пост като броиш отдоло нагоре.

[tex]a=1[/tex] [tex]b=-(1+\sqrt{3})[/tex] [tex]c=\sqrt{3}[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=-1-\sqrt{3}[/tex] [tex]c=\sqrt{3}[/tex]
[tex]a+b+c=0[/tex]
[tex]1-1+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0[/tex]
[tex]x_1=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}[/tex]
Ако трябва да го решим по обичайния начин,то става
[tex]x^2-(1+\sqrt{3})x+\sqrt{3}[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=-(1+\sqrt{3})[/tex] [tex]c=\sqrt{3}[/tex]
[tex]D=b^2-4ac[/tex]
[tex]D=[-(1+\sqrt{3})]^2-(4.1.\sqrt{3})[/tex]
[tex]D=(1+\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}[/tex]
[tex]D=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}[/tex]
Тук сега една особеност-не бързай да привеждаш рационалните числа,приведи ирационалните.
[tex]D=1-2\sqrt{3}+3[/tex]
Това е формулата [tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
[tex]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/tex]
[tex]D=(1-\sqrt{3})^2[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{1+\sqrt{3}\pm\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}}{2.1}[/tex]
[tex]x_1=\frac{1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]x_1=\frac{2}{2}=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{1+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}}{2.1}[/tex]
[tex]x_2=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}[/tex]
Пример 2
[tex]x^2+(3+\sqrt{2})x+3\sqrt{2}[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=3+\sqrt{2}[/tex] [tex]c=3\sqrt{2}[/tex]
[tex]D=b^2-4ac[/tex]
[tex]D=(3+\sqrt{2})^2-(4.1.3\sqrt{2})[/tex]
[tex]D=9+6\sqrt{2}+2-12\sqrt{2}[/tex]
Тук сега една особеност-не бързай да привеждаш рационалните числа,приведи ирационалните.
[tex]D=9-6\sqrt{2}+2=(3-\sqrt{2})^2[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-3-\sqrt{2}\pm\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}}{2.1}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-3-\sqrt{2}\pm(3-\sqrt{2})}{2.1}[/tex]
[tex]x_1=\frac{-3-\sqrt{2}+3-\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]x_1=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}[/tex]
[tex]x_2=\frac{-3-\sqrt{2}-3+\sqrt{2}}{2}=\frac{-6}{2}=-3[/tex]

[amsara]

[tex]x^2-(1+\sqrt{3})x+\sqrt{3}[/tex]
Тук ще използваме нещо ново,което госпожа Ганка Симеонова обесни в тази тема.
viewtopic.php?f=36&t=3582
Виж четвъртия пост като броиш отдоло нагоре.

[tex]a=1[/tex] [tex]b=-(1+\sqrt{3})[/tex] [tex]c=\sqrt{3}[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=-1-\sqrt{3}[/tex] [tex]c=\sqrt{3}[/tex]
[tex]a+b+c=0[/tex]
[tex]1-1+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0[/tex]
[tex]x_1=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}[/tex]
Ако трябва да го решим по обичайния начин,то става
[tex]x^2-(1+\sqrt{3})x+\sqrt{3}[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=-(1+\sqrt{3})[/tex] [tex]c=\sqrt{3}[/tex]
[tex]D=b^2-4ac[/tex]
[tex]D=[-(1+\sqrt{3})]^2-(4.1.\sqrt{3})[/tex]
[tex]D=(1+\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}[/tex]
[tex]D=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}[/tex]
Тук сега една особеност-не бързай да привеждаш рационалните числа,приведи ирационалните.
[tex]D=1-2\sqrt{3}+3[/tex]
Това е формулата [tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
[tex]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/tex]
[tex]D=(1-\sqrt{3})^2[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{1+\sqrt{3}\pm\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}}{2.1}[/tex]
[tex]x_1=\frac{1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]x_1=\frac{2}{2}=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{1+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}}{2.1}[/tex]
[tex]x_2=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}[/tex]
Пример 2
[tex]x^2+(3+\sqrt{2})x+3\sqrt{2}[/tex]
[tex]a=1[/tex] [tex]b=3+\sqrt{2}[/tex] [tex]c=3\sqrt{2}[/tex]
[tex]D=b^2-4ac[/tex]
[tex]D=(3+\sqrt{2})^2-(4.1.3\sqrt{2})[/tex]
[tex]D=9+6\sqrt{2}+2-12\sqrt{2}[/tex]
Тук сега една особеност-не бързай да привеждаш рационалните числа,приведи ирационалните.
[tex]D=9-6\sqrt{2}+2=(3-\sqrt{2})^2[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-3-\sqrt{2}\pm\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}}{2.1}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-3-\sqrt{2}\pm(3-\sqrt{2})}{2.1}[/tex]
[tex]x_1=\frac{-3-\sqrt{2}+3-\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]x_1=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}[/tex]
[tex]x_2=\frac{-3-\sqrt{2}-3+\sqrt{2}}{2}=\frac{-6}{2}=-3[/tex]

Не че се променят като окончателна стойност корените на първото уравнение(въпреки че се разменят неправилно), но все пак съвсем не е вярно изваждането на дискриминантата пред корена с този знак. Трябва пред корена да се изнесе [tex]\sqrt{3}-1[/tex], тъй като [tex]1<\sqrt{3}[/tex]

[Toshko96]

Права си

[strangerforever]

Или друго яче казано [tex]\sqrt{a^{2}} = |a|[/tex], нещо, което доста хора забравят.

[Nergal]

Хора,тези задачи ми трябват спешно,до утре в 10:30 трябва да съм ги предал,много ви моля помогнете

Рационализирайте знаменателя на дробта
a) 5-√5
------
√5-1

б)1
----
2 + √3

10
----
1+√5 + √6

Рационализирайте числителя на дробта

7+4√3
------
7-4√3

√3-1
-----
2

Докажете равенството

√6 - √11 + √6 + √11 = √22

Тиретата са дробна черта

Много благодаря на всички отзовали се

[amsara]

И на кого ще ги предаваш в неделя?
Ще ти покажа първия пример, другите се правят по същия начин, целта е да докараш формула за съкратено умножение в знаменателя и така да се освободиш от корените.И най-често номерът става с умножение и в числителя и в знаменателя по едно и също число.
Ето:
[tex]\frac{5-\sqrt{5} }{\sqrt{5} -1 }= \frac{(5-\sqrt{5})(\sqrt{5} +1) }{(\sqrt{5} -1)(\sqrt{5} +1) }=[/tex]
[tex]=\frac{(5-\sqrt{5})(\sqrt{5} +1) }{5-1 }=[/tex]
= [tex]=\frac{(5-\sqrt{5})(\sqrt{5} +1) }{4 } =\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5} +1) }{4 }[/tex]=
= [tex]\frac{4\sqrt{5} }{ 4}=\sqrt{5}[/tex]
Може и още по-бързо да рационализираш като още от началото извадиш множител [tex]\sqrt{5}[/tex] пред скобата в числителя и после съкратиш, ама нарочно ти написах този начин, за да имаш идея как да се оправиш с другите примери.

А задачата за доказателство ти е с грешно условие.

[Nergal]

Имам въпрос за
10
---
1 + √5 + √6

Като умножа по 1 + √5 - √6,отдолу ми е ясно,но отгоре се получава 10 . 1 √5 - √6.И съм до тука

А задачата за доказване е
√6 - √11 + √6 + √11 = √22 като корен от 6 е на цялото равенство
EDIT : И при 1 също не ми излиза.Като го сметна се получава 2 - √3 а отговора е само 2 - √3
--- ----------
2+√3 12

[amsara]

Пиши условията като хората. Какво значи коренът да е над цялото равенство?
Разбрах те май в случая, имаш предвид сигурно следното:

[tex]\sqrt{6-\sqrt{11} }+\sqrt{6+\sqrt{11} }=\sqrt{22}[/tex]
Двете подкоренни величини вляво са с един знак, по-големи са от 0, така че можеш да повдигнеш сбора им на квадрат.Естествено същото трябва да направиш и с дясната страна.
[tex](\sqrt{6-\sqrt{11} }+\sqrt{6+\sqrt{11} })^2=\sqrt{22}^2[/tex]
[tex]6-\sqrt{11}+2\sqrt{(6-\sqrt{11})(6+\sqrt{11}) } +6+\sqrt{11} =22[/tex]
[tex]12+2\sqrt{36-11}=22[/tex]
[tex]12+2\sqrt{25} =22[/tex]
[tex]12+10=22[/tex]

[Nergal]

Не ми стана ясно,как я правите тая дробна черта :Д

Много благодаря,останаха ми само рационализацията.

[Kamito]

.

[prodanov]

Прочети ръководството.

[Nergal]

Благодаря,сега ето и рационализацията,която не мога,смятам,че с останалите се справих

[tex]\frac{1}{2+\sqrt3}[/tex]

[tex]\frac{10}{1+\sqrt5 + \sqrt6}[/tex]

Тук,трябва да рационализирам числителя

[tex]\frac{7 + 4 \sqrt3}{7-4\sqrt3}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt3 - 1}{2}[/tex]

[Nergal]

Имам нужда от помощ за 2 задачи,този път за намиране на корени.

Намерете корените на уравнението:

[tex]\frac{x+1}{2} - x(x+1) = \frac{x+2}{2}[/tex]

[tex]x(x2 +3x) - 2x = (x-2)(x2 +2x+4)[/tex]

[allier]

Първата е квадратно уравнение - само го опрости първо. По-горе в темата са ти дали формулите за решаване на квадратни уравнения. Втората - също. Като отвориш скобите, третата степен ще се съкрати.

[Nergal]

Тук ми е проблема на 1вата - как да я опростя,като я преведа под общ знаменател ?

[allier]

Общият знаменател е 2. Направо, умножи двете страни на уравнението по 2. След това отвори скобата.

[amsara]

Имам нужда от помощ за 2 задачи,този път за намиране на корени.

Намерете корените на уравнението:

[tex]\frac{x+1}{2} - x(x+1) = \frac{x+2}{2}[/tex]

[tex]x(x2 +3x) - 2x = (x-2)(x2 +2x+4)[/tex]

[tex]\frac{x+1}{2} - x(x+1) = \frac{x+2}{2}[/tex]
[tex](x+1) - 2x(x+1) = x+2[/tex]
[tex]x+1-2x^2-2x-x-2=0[/tex]
[tex]-2x^2-2x-1=0[/tex]
[tex]D<0[/tex]Няма реални корени