parametri4no uravnenie

[keionys]

Много ме зтрудняват следните параметрични уравнения:
1. Стойностите на параметъра p ,за които корените на уравнението y^2-(1-7p^2)y-4=0 ..
2. Намерете стойностите на параметъра с, за които уравнението cx^2+2(c-1)x+c-1=0 има не повече от един реален корен.

Моля за по-широко обяснение.. Благодаря Ви!

[amsara]

Много ме зтрудняват следните параметрични уравнения:
1. Стойностите на параметъра p ,за които корените на уравнението y^2-(1-7p^2)y-4=0 ..
2. Намерете стойностите на параметъра с, за които уравнението cx^2+2(c-1)x+c-1=0 има не повече от един реален корен.

Моля за по-широко обяснение.. Благодаря Ви!

Тези задачи се решават като изследваш дискриминантата.
[tex]D=0[/tex]има един ,повтарящ се два пъти реален корен
[tex]D>0[/tex]има два реални корена
[tex]D<0[/tex]няма реални корени

В първата ти задача не е ясно на какво условие трябва да отговарят корените при съответната стойност на параметъра.
Във втората решаваш уравнението [tex]D=0[/tex]
[tex][2(c-1)]^2-4c(c-1)=0[/tex]
[tex]c=1[/tex]
Тоест при c=1 непълното квадратно уравнение има повтарящ се корен 0.
Дано все пак не бъркам някъде, че ние още това не сме го взели в час, но форумът е добър учител.

[1089]

D ima kogato ima koeficient pred x^2... zatova trqbva da gleda6 dva otdelni slu4aq...

[ganka simeonova]

D ima kogato ima koeficient pred x^2... zatova trqbva da gleda6 dva otdelni slu4aq...

Toчно така. Има разлика във фразите:
"Дадено е у-то " и
" Дадено е квадратното уравнение".

[amsara]

Тоест трябва да разгледам като втори и случая при c=0, когато просто уравнението става линейно с корен [tex]-\frac{1}{2 }[/tex], така ли?

[keionys]

Съжалявам, не съм довършил условието за задача 1-ва..

1. Стойностите на параметъра p, за които корените на уравнението y^2-(1-7p^2)y-4=0 са противоположни числа, са:

A) ±√7 В) ±√7/7
Б) √7 Г) √7/7

[1089]

Тоест трябва да разгледам като втори и случая при c=0, когато просто уравнението става линейно с корен [tex]-\frac{1}{2 }[/tex], така ли?

to4no taka

[1089]

Съжалявам, не съм довършил условието за задача 1-ва..

1. Стойностите на параметъра p, за които корените на уравнението y^2-(1-7p^2)y-4=0 са противоположни числа, са:

A) ±√7 В) ±√7/7
Б) √7 Г) √7/7

ako korenite sa protivopolojni 4isla, to koeficienta pred b e 0=>V

[amsara]

1089, благодаря за разяснението.

[keionys]

1. Благодаря за помощта само че не разбрах някои неща.. Не разбрах как стигаме до c=0.. c=1 го разбрах, но с=0 и с=1/2 не разбрах.. Смисъл.. аз разбриам, че и те стават. Проверих чрез проверка, обаче не знам как сам да стигна до този извод че има 3 начина за решаване.. с=0, с=1, с=1/2.. Имам предвид, че в друга задача няма да се справя сам.. Моля разяснете ми го.. Благодаря.
2. Не разбрах, също така, на задачата, която си поправих (1-ва) какво има в предвид 1089.. не разбирам много точно за какъв коефицент пред b става въпрос.. Моля за по-широко обяснение... м/у другото аз имам отговори на задачите обаче скоро ще имам контролно, а не разбирам всичко.. За това моля за разяснение.. Благодаря!

[loving_math]

Много ме зтрудняват следните параметрични уравнения:
1. Стойностите на параметъра p ,за които корените на уравнението y^2-(1-7p^2)y-4=0 ..
2. Намерете стойностите на параметъра с, за които уравнението cx^2+2(c-1)x+c-1=0 има не повече от един реален корен.

Моля за по-широко обяснение.. Благодаря Ви!

По ред...
1 зад.Квадратно уравнение е от вида [tex]ay^2+by+c=0[/tex]където а е коефициентът пред втората степен, а b - пред първата степен.В конкретния случай се пита при кои стойности на параметъра, уравнението ще има противоположни корени.Това става ,когато квадратното уравнение е непълно, от вида [tex]ay^2+c=0[/tex].Както виждаш, при такова непълно уравнение липсва първата степен на неизвестното и нейния коефициент b.Тоест на практика имаш 0y Затова приравняваш коефициента пред у в твоето уравнение на 0.
[tex]1-7p^2=0[/tex]
[tex]7p^2=1[/tex]
[tex]p^2=\frac{1}{7 }[/tex]
[tex]p_{1,2 }=\pm \sqrt{\frac{1}{ 7} }=\pm \frac{\sqrt{7} }{7 }[/tex]
2зад.Питат те за 1 корен.Единият вариант е написаният по-горе, а другият е при коефициент пред квадратната степен 0.Защо точно 0?Защото при нула квадратната степен ще отпадне и уравнението ще се превърне в линейно, тоест в такова с 1 корен.
Замести с 0 в коефициента пред първата степен и в свободния член и ще получиш въпросното линейно уравнение, чийто корен е [tex]- \frac{1}{ 2}[/tex]Това [tex]- \frac{1}{ 2}[/tex] обаче не ти е стойност на параметъра, а корен на линейното уравнения при стойност на параметъра c=0.
Тоест имаш два случая, не 3.
c=0 и c=1

[keionys]

Много ме зтрудняват следните параметрични уравнения:
1. Стойностите на параметъра p ,за които корените на уравнението y^2-(1-7p^2)y-4=0 ..
2. Намерете стойностите на параметъра с, за които уравнението cx^2+2(c-1)x+c-1=0 има не повече от един реален корен.

Моля за по-широко обяснение.. Благодаря Ви!

По ред...
1 зад.Квадратно уравнение е от вида [tex]ay^2+by+c=0[/tex]където а е коефициентът пред втората степен, а b - пред първата степен.В конкретния случай се пита при кои стойности на параметъра, уравнението ще има противоположни корени.Това става ,когато квадратното уравнение е непълно, от вида [tex]ay^2+c=0[/tex].Както виждаш, при такова непълно уравнение липсва първата степен на неизвестното и нейния коефициент b.Тоест на практика имаш 0y Затова приравняваш коефициента пред у в твоето уравнение на 0.
[tex]1-7p^2=0[/tex]
[tex]7p^2=1[/tex]
[tex]p^2=\frac{1}{7 }[/tex]
[tex]p_{1,2 }=\pm \sqrt{\frac{1}{ 7} }=\pm \frac{\sqrt{7} }{7 }[/tex]
2зад.Питат те за 1 корен.Единият вариант е написаният по-горе, а другият е при коефициент пред квадратната степен 0.Защо точно 0?Защото при нула квадратната степен ще отпадне и уравнението ще се превърне в линейно, тоест в такова с 1 корен.
Замести с 0 в коефициента пред първата степен и в свободния член и ще получиш въпросното линейно уравнение, чийто корен е [tex]- \frac{1}{ 2}[/tex]Това [tex]- \frac{1}{ 2}[/tex] обаче не ти е стойност на параметъра, а корен на линейното уравнения при стойност на параметъра c=0.
Тоест имаш два случая, не 3.
c=0 и c=1

Благодаря много. Този път разбрах.. Обаче все пак да попитам. Винаги ли когато искат да са противоположни корените в дадена задача трябва да се разглежда и примера с параметър = 0 за да се доведе до линейно? Не ми стана ясно само това дали във всяка задача за противоположни корени мога да използвам параметър = 0.. Аз съм такъв човек, че като реша някоя задача по странен начин се питам дали на всякаде мога да прилагам това свойство (с подобни условия (задачи)).. И за това питам Благодаря

[keionys]

Още една задача ме притесни.... За "противоположни корени" разбрах. За 2 различни корена знам D>0 За "няма реални корени" знам D<0. За двоен корен знам. D=0., но математическите задачи са много гадни..сега ми искат 3 различни корена... а това не го знам.. Няма теория според мен за това.. Дайте идеи как да искарам 3 корена (ралични) на следното уравнение: x^2(x^2-2x+a)=0. << Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението има 3 различни корена.

[stflyfisher]

Още една задача ме притесни.... За "противоположни корени" разбрах. За 2 различни корена знам D>0 За "няма реални корени" знам D<0. За двоен корен знам. D=0., но математическите задачи са много гадни..сега ми искат 3 различни корена... а това не го знам.. Няма теория според мен за това.. Дайте идеи как да искарам 3 корена (ралични) на следното уравнение: x^2(x^2-2x+a)=0. << Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението има 3 различни корена.

В задачата се използва теорията за кв. ур-ие(Защо?)+малко разсъждения от теб.

[tex]x^2(x^2-2x+a)=0[/tex]

[tex]x^2=0 \cup x^2-2x+a=0[/tex]

[tex]x_1=0[/tex]

Как да отговориш на поставената задача?

В това у-ние обезателно имаш корен

[tex]x=0[/tex]

В условието се иска 3 различни корена=>

[tex]x^2-2x+a=0[/tex]

Трябва да има 2 различни корена и да нито един от тях да не е 0 (а това е теорията за кв. ур-ние.)

[amsara]

[tex]a\ne 0[/tex] и [tex]a<1[/tex]

[martin.nikolov]

...
2. Намерете стойностите на параметъра с, за които уравнението cx^2+2(c-1)x+c-1=0 има не повече от един реален корен.
...

Само да направя забележката, че в оригиналната задача пише "не повече от един реален корен" което не значи "точно един". При квадратни урвнения това е налице когато [tex]D\le 0[/tex], а не когато [tex]D=0[/tex].

[amsara]

Намерете стойностите на параметъра с, за които уравнението cx^2+2(c-1)x+c-1=0 има не повече от един реален корен.

Така, и аз искам пак да се върнем на тази задача по няколко причини.
1.Според мен авторът е сгрешил условието.Говори, че замества с 3 дадени в отговорите стойности на параметъра и при трите условието е удовлетворено.С така зададено условие обаче, отговорите са 2.
-c=0 като коефициент пред x^2, откъдето се получава линейно уравнение
-c=1 като решение на уравнението от дискриминантата.
Но авторът намесва и отговор 1/2 .За да има трети вариант, трябва уравнението, което се получава от дискриминантата да е квадратно, а не както в случая квадратните му степени да се унищожават. А за да е така, трябва да има грешка в коефициента пред х или в свободния член.Така че с малко налучкване обърнах знаците на свободния член, примерно в този вид
[tex]cx^2+2(c-1)x+1-c=0[/tex]
[tex]4(c-1)^2-4c(1-c)=0[/tex]
[tex]4c^2-8c+4-4c+4c^2=0[/tex]
[tex]c=1[/tex], [tex]c=\frac{1}{2 }[/tex]
2.Не разбирам забележката на Мартин Николов.
Защо да трябва дискриминантата да е по-малка или равна на 0. Ако поставим това условие за D, автоматично намираме и онези стойности на параметъра, за които уравнението освен два повтарящи се корена, но рационални, може да има и два различни, но ирационални.Което противоречи на исканото в задачата.
Така че, ако написаното от автора на темата условие е вярно, отговорите са 2 - 0 и 1.
Ако е сгрешил при изписването условието - отговорите са наистина 3 - 0, 1/2 и 1.
Но и в двата случая не виждам причина да има интервал за параметъра с, произлизащ от решаването на неравенство за дискриминантата<=0.

[prodanov]

Сара, при [tex]D = 0[/tex] уравнението има един корен, а при [tex]D < 0[/tex] няма реални корени. Задачата е за 8ми клас, недей да бъркаш с имагинерни(направи ми впечатление че ги знаеш), т.е D < 0 също отговаря.

Това се разглежда:
I)При c = 0, има 1 корен
II)При c [tex]\ne[/tex] 0 има три подслучая:
II.1) D > 0 - два корена.
II.2) D = 0 - един корен.
II.3) D < 0 - няма реални корени.

II.1 отпада, остават 3 случая.


Пълно решение:
cx^2+2(c-1)x+c-1=0

I) [tex]c=0[/tex]
[tex]-2x - 1 = 0[/tex] <=> [tex]x = -\frac{1}{2}[/tex] - тук има само един корен, върши работа.
II) [tex]c \ne 0[/tex]

[tex]'D=(c-1)^2 - c(c-1) = (c-1)(c-1-c) = 1-c[/tex]
II.1) [tex]D > 0[/tex] при [tex]c < 1[/tex].
[tex]x = \frac{c-1 \pm \sqrt{1-c}}{c}[/tex]

II.2) [tex]D = 0[/tex] при [tex]c = 1[/tex]
[tex]x = \frac{1-c}{c} = \frac{0}{1} = 0[/tex]

II.3) [tex]D < 0[/tex] при [tex]c > 1[/tex]
[tex]x = \oslash[/tex]


Сега се чертае числовата ос и се загражда интервала, който удоволетворява условието, a под чертежа се пише:

при [tex]c = 0: x =-\frac{1}{2}[/tex]
при [tex]c \in (-\infty, 0) \cup (0 ,1): x=\frac{c-1 \pm \sqrt{1-c}}{c}[/tex]
при [tex]c = 1: x=0[/tex]
при [tex]c \in (1, +\infty): x = \oslash[/tex]

И най-накрая: стойностите на c, които удоволетворяват условието са: [tex]c = <0, [1, +\infty)>[/tex]

Тва последното в скобите го взех от информатиката, забравих как се пише математически. Задачата си е много писане, дано са го посъкратили (II.1 не удоволетворява условието, но по мое време ме караха да го пиша).

[amsara]

Закъснявам за даскало, но да минутка ще напиша това, което ме притеснява.
Остави имагинерните настрана, дори да гледаме от позицията само на 8 клас, за който си е задачата, една дискриминанта <0 води до отговор, че уравнението няма никакво решение, тоест нито един корен.А по условие се иска да има не повече от един реален корен.Е как ще стане номерът тогава?
Това, което исках да кажа е, че отговорите в случая трябва да са конкретни стойности на параметъра - 0,1,1/2, а не някакъв интервал.

[loving_math]

Истината май е някъде по средата.. или иначе казано грешката е преди всичко в осмокласника, пуснал параметричните уравнения тук.
Споменавала съм, че имам осмокласничка у дома, която има известен афинитет към математиката,поради което има и доста натрупани сборници за 8 клас по предмета. Разтворих ги да поразгледам параметричните уравнения в тях и какво да видя.Всичките пуснати от автора примери са от сборника на Коала Прес за 8 клас.
В коментираната задача са допуснати 2 съществени грешки при преписа на условието -веднъж с поставянето на думите не повече от един корен и още веднъж с промяната на знака на свободния член.
Иска се да се намерят онези стойности на параметъра, за които уравнението
[tex]cx^2+2(c-1)x+1-c=0[/tex]има един реален корен.
Ако все пак това е истинското условие на задачата, отговорите наистина са 0, 1 и 0,5 и с тях най-вероятно авторът е правил въпросните замествания..

[keionys]

Истината май е някъде по средата.. или иначе казано грешката е преди всичко в осмокласника, пуснал параметричните уравнения тук.
Споменавала съм, че имам осмокласничка у дома, която има известен афинитет към математиката,поради което има и доста натрупани сборници за 8 клас по предмета. Разтворих ги да поразгледам параметричните уравнения в тях и какво да видя.Всичките пуснати от автора примери са от сборника на Коала Прес за 8 клас.
В коментираната задача са допуснати 2 съществени грешки при преписа на условието -веднъж с поставянето на думите не повече от един корен и още веднъж с промяната на знака на свободния член.
Иска се да се намерят онези стойности на параметъра, за които уравнението
[tex]cx^2+2(c-1)x+1-c=0[/tex]има един реален корен.
Ако все пак това е истинското условие на задачата, отговорите наистина са 0, 1 и 0,5 и с тях най-вероятно авторът е правил въпросните замествания..

Всъщност има и такава задача.. и тя ме затруднява (не знам как стигаме до 1/2), но тази която съм пуснал също съществува За това я пуснах..

[strangerforever]

Закъснявам за даскало, но да минутка ще напиша това, което ме притеснява.
Остави имагинерните настрана, дори да гледаме от позицията само на 8 клас, за който си е задачата, една дискриминанта <0 води до отговор, че уравнението няма никакво решение, тоест нито един корен.А по условие се иска да има не повече от един реален корен.Е как ще стане номерът тогава?
Това, което исках да кажа е, че отговорите в случая трябва да са конкретни стойности на параметъра - 0,1,1/2, а не някакъв интервал.

Напротив, ако броят на корените е x, "не повече от един реален корен" e еквивалентно на x <= 1. При Д < 0, уравнението има корени, но те са комплексни, не можеш да правиш следствие от това, че задачата "няма решение", не е правилно. Мисля, че ти "не повече от един реален корен" го приемаш като "да има реални корени, но техният брой да не е повече от 1". На мнение съм, че забележката е правилна.

[keionys]

Да приемем обърнато ∩ за _ ,защото имам пропуск и незнам как се изговаря този знак ..
Oтговорът на задачата е: c=0_[1; +∞)
.. Аз не знам как да съставя този интервал...

[loving_math]

Истината май е някъде по средата.. или иначе казано грешката е преди всичко в осмокласника, пуснал параметричните уравнения тук.
Споменавала съм, че имам осмокласничка у дома, която има известен афинитет към математиката,поради което има и доста натрупани сборници за 8 клас по предмета. Разтворих ги да поразгледам параметричните уравнения в тях и какво да видя.Всичките пуснати от автора примери са от сборника на Коала Прес за 8 клас.
В коментираната задача са допуснати 2 съществени грешки при преписа на условието -веднъж с поставянето на думите не повече от един корен и още веднъж с промяната на знака на свободния член.
Иска се да се намерят онези стойности на параметъра, за които уравнението
[tex]cx^2+2(c-1)x+1-c=0[/tex]има един реален корен.
Ако все пак това е истинското условие на задачата, отговорите наистина са 0, 1 и 0,5 и с тях най-вероятно авторът е правил въпросните замествания..

Всъщност има и такава задача.. и тя ме затруднява (не знам как стигаме до 1/2), но тази която съм пуснал също съществува За това я пуснах..

Щом стои така въпросът с условията, на практика имаш вече решение и на двете задачи тук в темата.

[loving_math]

[tex]cx^2+2(c-1)x+c-1=0[/tex]
[tex]D=4c^2-8c+4-4c^2+4c=-4c+4[/tex]
[tex]-4c+4\le 0[/tex]
[tex]c\ge 1[/tex] или [tex]c\in [1;+\infty )[/tex]
Това e интервалът ,в който стойностите на параметъра удовлетворяват условието за не повече от един реален корен на квадратното уравнение.
При c=0 отпада втората степен на неизвестното и получилото се линейно уравнение отговаря на условието да има не повече от един корен
Обедини сега с въпросния знак двете неща по-горе и ще получиш именно споменатото от теб като краен резултат в сборника.
При второто условие на задачата, в което просто се иска един реален корен и свободният член вече е друг, получаването на отговорите е разписано в по -горен пост, включая и на затрудняващата те стойност [tex]\frac{1}{ 2}[/tex] на параметъра с като един от корените на квадратното уравнение, получено при [tex]D=0[/tex] . Другият му корен е 1.
О като решение отново идва от линейно уравнение.