Разстоянията от медицентъра до върховете на триъгълника

[katherinne_]

1 ЗАД.
Медианите на триъгълник имат дължини 6 см, 9 см и 12 см . Намерете разстоянията от медицентъра до върховете на триъгълника .

2 ЗАД.
Точката М е медицентърът на [tex]\Delta[/tex] ABC и АМ=4 см, ВМ=5,2 см и СМ=7 см. Намерете медианите на триъгълника.



Към задачите няма приложени чертежи.

[ptj]

1.) Просто трябва да знаеш, че медицентъра дели медианите в съотношение 2:1 считано от върха. Тогава търсените разстояния са [tex]\frac{2}{2+1 }=\frac{2}{3 }[/tex] от дадените, т.е. 4см. ,6см. и 8см.

2.) Обратно на 1.) . Ако [tex]\frac{MA}{AA_1 }=\frac{2}{3 }[/tex], то [tex]\frac{AA_1}{MA }=\frac{3}{2 }[/tex], т.е. [tex]AA_1=\frac{3}{2 } MA[/tex]. За останалите аналогично.

Отговорите са : [tex]AA_1=6[/tex] ; [tex]BB_1=7,8[/tex]; [tex]CC_1=10,5[/tex] .

[katherinne_]

Много ви благодаря , страшно ми помогнахте !
А само искам да попитам как сте намерили това [tex]2/2+1[/tex] или [tex]2/3[/tex] ?

[ptj]

Много ви благодаря , страшно ми помогнахте !
А само искам да попитам как сте намерили това [tex]2/2+1[/tex] или [tex]2/3[/tex] ?

Това е теорема и предполагам е включена в училишния ви материал по геометрия:

" Трите медиани в триъгълника се пресичат в една точка (медицентър), делящи ги в съотношение 2:1 считано от върха."

П.П. Доказателството е с вектори, но в задачите теоремата се ползва на готово (само се цитира).

[amsara]

Ptj,май питат не за доказателство на самата теорема , а за обяснение на това защо отношението е станало 2:3
А то е следстивие от теоремата .
М дели медианата в отношение 2:1 по тази теорема, тоест дължината на медианата представлява сбор от 3 равни части.
Две от тези 3 части са от върха на триъгълника до М, а една е от М до пресечната точка на медианата със страната на триъгълника.
=>MA/AA1= 2/3 или примерно MA1/AA1=1/3
Поне аз в този смисъл разбрах питането на kаtherinne

[ptj]

Аз точно това обясних - от къде идва въпросното съотношение.

[Гост]

[tex]\sum_{x=0}^{10 }x^2[/tex]