2 задачи от средна отсечка

[tg....]

Да се докаже, че средите на страните на всеки правоъгълник са върхове на ромб.

Точките M, N, P са среди съответно на страните BC, CA, AB на ▲ABC. Докажете, че ако в триъгълник медианата към една от страните му е равна на половината от тази страна, то ъгълът срещу страната е 90°.

За първата задача доказвам, че четириъгълника е първо успоредник, но след това не мога да се сетя как да докажа, че е и ромб.
За 2рата мисля, че има такава теорема от 7 клас, но не мога да се сетя как да я докажа.
Може ли малко помощ?

[loving_math]

Доказал/а си, че е успоредник.
AC=BD=d - диагонали в правоъгълник
M,N,P,Q - среди съответно на AB,BC,CD,DA
MQ-средна отсечка=>MQ=d/2
Аналогично PN=d/2, MN=d/2,QP=d/2
Успоредник с 4 равни страни е...

[loving_math]

Нямам идея какво стана, но ми изчезна вторият пост.
Няма да пиша отново цялото доказателство.
Докажи два равнобедрени триъгълника, след което ползвай това, че сборът на ъглите в триъгълника е 180°
Оттам ще ти излезе 90°-ият ъгъл.
И да, има такава теорема учена в 7 клас,според която в правоъгълния триъгълник медианата към хипотенузата е половината от нея.

[ptj]

За втората задача продължи медианата, така че да се получи четириъгълник с взаимно разполовяващи се и равни диагонали. Очевидно той е правоъгълник.

[tg....]

Благодаря, но как да докажа, че са взаимно разполовяващи се и са равни?

[ptj]

Нека триъгълника ти е [tex]ABC[/tex], а медианата [tex]BM[/tex]. По условие [tex]BM=MA=MC[/tex].Построяваш т.[tex]D\in BM[/tex] (правата) като DM=MB. Тогава за четириъгълника [tex]ABCD[/tex] имаш [tex]AM=BM=CM=DM[/tex], т.е.
(*) диагоналите му взаимно се разполовяват и
(**) са равни.
От (*) следва, че четириъгълника [tex]ABCD[/tex] е успоредник, а след това използвайки (**), че е и правоъгълник (би трябвало да сте решавали такава задача по-рано). От последното следва, че [tex]\angle ABC=90^\circ[/tex].

[Tinyo0]

Трябва ми помощ за подобна задача, а именно :
Да се докаже, че средите на всеки успоредник са върхове на успоредник