Медицентър

[dodo13]

Даден е успоредник ABCD.Точките M и N са среди съответно на BC и CD.Докажете,че медицентърът на ▲AMN е средата на диагонала BD.

[ptj]

Нека [tex]AD\cap BD=[/tex]{т.[tex]O[/tex]}. Нека също [tex]\vec {AB}=\vec a[/tex] и [tex]{AD=\vec b[/tex].

[tex]\vec {OA} =-\frac{1}{2 } \vec {AC}= -\frac{1}{2 }(\vec {AD}+\vec {DC})= -\frac{1}{ 2} (\vec b +\vec a)[/tex]
[tex]\vec ON=\frac{1}{2 }\vec {BC}= \frac{1}{2 }\vec {AD}=\frac{1}{2 }\vec b[/tex] (средна отсечка)
[tex]\vec OM=\frac{1}{2 }\vec {AB}=\frac {1}{2 }\vec a[/tex] (средна отсечка)

Сумираме :
[tex]\vec {OA}+ \vec{ON}+ \vec {OM}=-\frac{1}{ 2} (\vec b +\vec a)+\frac {1}{2 }\vec b+\frac {1}{2 }\vec a=\vec 0[/tex]
сл. т.[tex]O[/tex] e медицентър на ▲[tex]ANM[/tex].

[dodo13]

Защо ,след като сумата на трите вектора е равна на нулев вектор,следва,че т.О е медицентър на ▲AMN?

[ptj]

Следва от Теоремата за медицентъра [tex]G[/tex] на ▲[tex]ABC[/tex]и произволна точка[tex]O[/tex]:

[tex]\vec {OG}=\frac{1}{3 }(\vec {OA}+ \vec{OB}+ \vec{OC})[/tex]

когато [tex]O\equiv G[/tex] имаш [tex]\vec{OG}=\vec0[/tex]

[dodo13]

Мерси много!

[kyimetmehmed]

Daden e usporednik ABCD. Tochkite P i Q sa medicentrove na ▲ ABC i BCD.
Dokajete che:
A: tochkite A,P,Q lejat na edna prava
B: tochkata P e sreda na otsechkata AQ

Kak da q rescha blagodarq predvaritelno

[kyimetmehmed]

Daden e usporednik ABCD. Tochkite M,N,P,Q sa sredi saotvetno na stranite BC,CD.DA.AB. Dokajete che ▲ AMN i CPQ imat ob6t medicentar.
Blagodarq predvaritelno

[ptj]

Тя ти е решена вече по-горе. Просто трябва да съобразиш, че средата на двата диагонала в успоредника е една и съща точка, която според първата задача се получава точно търсения от теб медицентър.