Задача за доказателство от медиани

[dodo13]

Докажете,че 3/4(a+b+c)≤ma+mb+mc,където a,b и c са страните на един триъгълник,а ma,mb и mc са медианите в триъгълника,съответно към страните a,b и c.Знакът на неравенството да се чете само по-малко.
Ако може решението да е без вектори!
Благодаря!

[ptj]

Разпиши си неравенството на триъгълника за 3-те триъгълника включващи два върха на ABC и медицентъра и после ги събери почленно.

[amsara]

Ами имам една идея, но дали е вярна. Притеснява ме едно почленно изваждане накрая.
Нека въведем някои означения, та да работим по-лесно.
М-медицентър, [tex]CC_{1 }= m_{c },BB_{1 }= m_{b },AA_{1 }= m_{a }[/tex]
От свойството на медицентъра =>[tex]CM=\frac{2m_{c }}{ 3} \& MC_{1 }=\frac{m_{c }}{ 3}[/tex]
[tex]BM=\frac{2m_{b }}{ 3} \& MB_{1 }=\frac{m_{b }}{ 3}[/tex]
[tex]AM=\frac{2m_{a }}{ 3} \& MA_{1 }=\frac{m_{a }}{ 3}[/tex]
Прилагаме неравенства в триъгълника:
▲ AC1M => [tex]\frac{2m_{a }}{ 3} + \frac{m_{c }}{ 3} > \frac{c}{ 2}[/tex]
▲ BA1M => [tex]\frac{2m_{b }}{ 3} + \frac{m_{a }}{ 3} > \frac{a}{ 2}[/tex]
▲ CB1M => [tex]\frac{2m_{c }}{ 3} + \frac{m_{b }}{ 3} > \frac{b}{ 2}[/tex]
Тъй като всичко, което изписахме е отсечки и те са дължина положително число, значи можем спокойно да съберем трите неравенства почленно, без да има промяна в знака .
=>[tex]\frac{3m_{a }}{ 3} +\frac{3m_{b }}{ 3} +\frac{3m_{c }}{ 3} > \frac{a+b+c}{ 2}[/tex]
[tex]m_{a } + m_{b } + m_{c } > \frac{a+b+c}{ 2}[/tex] (1)
Отново използваме неравенствата в триъгълника, но този път тези с разликата на две страни.
[tex]\frac{m_{a }}{ 3} >\frac{2m_{c }}{ 3} -\frac{a}{ 2}[/tex]
[tex]\frac{m_{b }}{ 3} >\frac{2m_{a }}{ 3} -\frac{b}{ 2}[/tex]
[tex]\frac{m_{c }}{ 3} >\frac{2m_{b }}{ 3} -\frac{c}{ 2}[/tex]
Отново почленно събираме трите неравенства
=>[tex]\frac{m_{a }+m_{b }+m_{c }}{ 3} >\frac{2m_{a }}{ 3} +\frac{2m_{b }}{ 3} +\frac{2m_{c }}{ 3}[/tex]
[tex]-\frac{m_{a }}{ 3} -\frac{m_{b }}{ 3}-\frac{m_{c }}{ 3}> \frac{-a-b-c}{2 }[/tex] (2)
От (1) почленно изваждаме (2)
=> [tex]m_{a } + m_{b } + m_{c } +\frac{m_{a }}{ 3} +\frac{m_{b }}{ 3}+\frac{m_{c }}{ 3}> a+b+c[/tex]
[tex]\frac{4m_{a }}{ 3}+\frac{4m_{b }}{ 3}+ \frac{4m_{c }}{ 3}> a+b+c[/tex]
[tex]4(m_{a } +m_{b } + m_{c })> 3(a+b+c)[/tex]
[tex]m_{a } +m_{b } + m_{c }> \frac{3}{4 }( a+b+c)[/tex]

ptj., между другото пробвах с твоя метод още в началото, но не изкарах дробта 3/4 Беше 3/8 , което сега се сетих ,че важи и за 3/4 Остава въпросът дали тези писания горе също минават за решение.

[allier]

Amsara, не може от едно и също неравенство, две различни да изведеш накрая. А и изваждането не е правилно:

1<2
4<6, но -3>-4.

С на ptj май излиза точно:

[tex]\frac{2}{3 } (m_{a}+m_{b})>c[/tex] и като се сумират трите аналогични става [tex]\frac{4}{3 } (m_{a}+m_{b}+m_{c})>a+b+c[/tex].

[amsara]

allier мерси за поправките Сега се усетих къде сгреших. При метода на ptj съм бляла и съм взимала половинката, а не целите страни. Затова ми е излязло 3/8

[dodo13]

Благодаря ви!Разбрах задачата!