средна отсечка на трапец - две засукани задачи

[nija]

Даден е трапец АВСD(АВ успоредна СD). Точката М дели AD в отношение 2:1 считано от А. Правата m през М, успоредна на АB, пресича диалоналите AC и BD в точки P и Q. Намерете PQ, ако AB = a, CD = b ( a по-голяма от b). При какви условия за a и b правата m минава през пресечната точка на диагоналите?



В триъгълник ABC точка P есредата на медианата CM. Правата АP пресича BC в точка Q. Намерете в какво отношение Q дели BC, считано от върха B. Има упътване: постройте през М права, успоредна на АР.


Много много моля, помогнете, защото стигам донякъде и не мога да продължа и в двете задачи. Благодаря предварително!

[amsara]

Хахаха,какво съвпадение, точно снощи решавах едната от двете задачи-втората.
Построяваш MN II AQ, N принадлежи на BC
M-среда на AB=> MN-средна отсечка в ▲ABQ
=>N-среда на QB=>BN=NQ=x
От успоредността и P-среда на CM =>PQ-средна отсечка в ▲MNC
=>Q-среда на NC =>QN=CQ=x
=>BQ=x+x=2x
=>BQ/QC=2x/x=2/1

Първата ще пробвам малко по-късно.

[nija]

Много съм ти благодарна, amsara! Как не го видях тоя триъгълник MNC Но първата задача наистина ми се вижда много трудна и ще съм ти супер много благодарна ако ми помогнеш и за нея!

[amsara]

MN=m II AB; AB=a,CD=b
Построяваме RS -средна основа в трапец ABSR, RS=x
=>AR=RM=y
AM=y+y=2y
=>2y/MD=2/1
=>MD=y
MN-средна основа в трапец RSCD
=>x=(a+m)/2 (1)
m=(x+b)/2 => 2m=x+b (2)
Заместваме (1) в (2)
=> [tex]2m=\frac{a+m}{2 }+b[/tex]
[tex]4m=a+m+2b[/tex]
[tex]3m=a+2b[/tex]
[tex]m=\frac{a+2b}{3 }[/tex]
нека RS пресича диагоналите AC И BD съответно в F и L
трапец ABMQ, RL -средна основа
=> [tex]RL=\frac{MQ+a}{ 2}[/tex]
трапец ABNP, FS -средна основа
=> [tex]FS=\frac{PN+a}{ 2}[/tex]
=>MQ-средна отсечка в ▲RLD
=> [tex]MQ=\frac{RL}{2 }[/tex]
[tex]MQ=\frac{MQ+a}{4 }[/tex]
[tex]4MQ=MQ+a[/tex]
[tex]MQ=\frac{a}{3 }[/tex]
Аналогично от средна отсечка
[tex]PN=\frac{FS}{2 }[/tex]
[tex]PN=\frac{PN+a}{4 }[/tex]
[tex]4PN=PN+a[/tex]
[tex]PN=\frac{a}{3 }[/tex]
[tex]PQ=m-\frac{a}{ 3}-\frac{a}{ 3}[/tex]
[tex]PQ=\frac{a+2b-2a}{ 3}[/tex]
[tex]PQ=\frac{2b-a}{ 3}[/tex]
За Последното условие мисля че [tex]PQ=0[/tex]
[tex]2b-a=0[/tex]
[tex]b=\frac{a}{ 2}[/tex]
Задачата меко казано си беше гадна, така че ще се радвам да каже някой дали е вярна.Ако ти самата имаш отговори, сподели дали са тези.

[nija]

Отново благодаря много! Сега намирам отговорите: модул от (a-2b)/3 , така че мисля, че твоя отговор е верен, а за второто подусловие а=2b. Сега ще разгледам всичко. Благодаря още веднъж!

[amsara]

Сигурно модулът ще излезе заради това, че отсечките които аз изразих чрез а, могат да бъдат изразени и чрез b.