Само за умници!

[maria]

Надявам се някой умник да успее да ми помогне с това:
Даден е правоъгълен трапец АВСD с основи ВС и АD, ВС>AD, АВ [tex]\bot[/tex]ВС. Известно е, че съществува отсечка МN, М е от АВ, N е от СD, успоредна на основите на трапеца, такава, че във всеки от четириъгълниците BCNM и MNDA може да впише окръжност. Да се намери лицето на трапеца, ако АВ=а и CD=в
Знам, че отговора трябва да е 0,5ав, но нямам си на идея как да го получа.

[ptj]

Докажи, че [tex]AD+BC=AB+CD[/tex] (външните допирателни са равни). Тогава лицето е [tex]\frac{a(a+b)}{2 }[/tex].

П.П. Ако един четириъгълник е описан около окръжност, то сумите от двойките срещуположни страни са равни помежду си.

П.ПП. Нещо повече- задачата е вярна даже когато [tex]MN[/tex] не е успоредна на основите.

[maria o96]

Ще ми помогнете ли с таси задачка
Медианите AM и BN на триъгълник ABC се пресичат в т.G. Да се докаже, че в четириъгълника CMGN може да се впише окръжност тогава и само тогава, когато AC=BC
Благодаря предварително!

[ganka simeonova]

Ще ми помогнете ли с таси задачка
Медианите AM и BN на триъгълник ABC се пресичат в т.G. Да се докаже, че в четириъгълника CMGN може да се впише окръжност тогава и само тогава, когато AC=BC
Благодаря предварително!

Хубава работа! Мисли, де!
Четириъгълникът е описан <=>[tex]NC+GM=MC+GN[/tex]
1) [tex]AC=BC=>CN=CM; BN=AM=>GN=GM[/tex]
2) И обратно. ако медианите са рвани и страните, към които са спуснати са равни.

[maria o96]

Ей, вярно бе! Много благодаря.

[Евва]

Нека окр.[tex]К{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];R) е вписана в трапеца BCNM и окр.[tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];r) е вписана в трапеца MNDA .
Нека [tex]К_{1 }[/tex] се допира до страните BC,CN,NM и BM съответно в точките [tex]Н_{1 }[/tex],[tex]Е_{2 }[/tex],[tex]Н_{2 }[/tex] и [tex]Е_{1 }[/tex] .
Нека [tex]К_{2 }[/tex] се допира до страните MN,ND,DA и AM съответно в точките [tex]Н_{3 }[/tex],[tex]Е_{4 }[/tex],[tex]Н_{4 }[/tex] и [tex]Е_{3 }[/tex] .
Да отбележим точка Р -пресечна точка на правите ВА и CD .
Да означим D[tex]H_{4 }[/tex]=x ,N[tex]H_{2 }[/tex]=y ,C[tex]H_{1 }[/tex]=z ,AP=n .
Забелязваме ,че B[tex]E_{1 }[/tex]=M[tex]E_{1 }[/tex]=B[tex]H_{1 }[/tex]=M[tex]H_{2 }[/tex]=R и M[tex]E_{3 }[/tex]=A[tex]E_{3 }[/tex]=M[tex]H_{3 }[/tex]=A[tex]H_{4 }[/tex]=r .
Лесно намираме PD=n+r-x ,[tex]E_{4 }[/tex]N=y+R-r .

Р[tex]Е_{1 }[/tex] и Р[tex]Е_{2 }[/tex] са две допирателни към [tex]К_{1 }[/tex] през т.Р-вън от окръжността [tex]\Rightarrow[/tex] Р[tex]Е_{1 }[/tex]=Р[tex]Е_{2 }[/tex]
PA+AM+M[tex]E_{1 }[/tex]=PD+D[tex]E_{4 }[/tex]+[tex]E_{4 }[/tex]N+N[tex]E_{2 }[/tex]
n+2r+R=n+r-x+x+y+R-r+y
y=r (1)

C[tex]E_{2 }[/tex]+[tex]E_{2 }[/tex]N+N[tex]E_{4 }[/tex]+[tex]E_{4 }[/tex]D=CD
z+y+y+R-r+x=b ( прилагаме (1) )
(R+z)+2r-r+x=b
(R+z)+(r+x)=b
BC+AD=b (2)

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{(BC+AD)AB}{2}[/tex]=[tex]\frac{ba}{2}[/tex]