медицентЪр

[elsinka_10]

Върху страните AB,BC и СA на равностранен ▲АВС са дадени точки P,Q и R такива,че AP:PB=BQ:QC=CR:RA=1:2. Докажете, че: медицентровете на ▲ABC и ▲PQR съвпадат.

[amsara]

Че нали по тази тема Алиер вече даде решение с вектори? После даде насоки и за геометрично решение.Къде избягаха?

[elsinka_10]

не знам ... ама като ъгъл АРR е 90 градуса .. кво ше стане после ?

[amsara]

С доказване на три еднакви триъгълника.Или поне аз така го направих.От тях ще излезе, че MP=MQ=MR =радиус на описаната около▲PQR окръжност
=>M-медицентър

[elsinka_10]

е ние още не сме учили с окръжност .. и се чудя за друго решение.

[amsara]

е ние още не сме учили с окръжност .. и се чудя за друго решение.

Е, то това не пречи, може и без него.Написах го за най-бързо решение, иначе и ние не сме го взели още официално , научила съм го оттук.И понеже преди задачата беше в друг раздел пусната, не знаех, че си 8 клас.

=>
След като докажеш трите горни равни разстояния от еднаквите ▲-ци, забравяш за радиуса.Доказваш, че М е пресечната точка на симетралите на малкия ▲.А тъй като той също е равностранен, то М е пресечната точка и на медианите му.

[elsinka_10]

кои горни разстояния ?

[amsara]

MP=MQ=MR

[amsara]

На чертежа се вижда кои 3 еднакви триъгълника имам предвид.

[elsinka_10]

а защо симетрали ?

[amsara]

Какво гласи учената в 7 теорема за симетрали Точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на нейната симетрала. Значи М едновременно принадлежи и на трите симетрали, тоест и на трете медиани на малкия триъгълник.Значи М е негов медицентър.

[elsinka_10]

▲AMC Е ЕДНАКЪВ НА▲MCB е еднакъв на ▲MAB по 1пр. => AM=CM=BM => т.М е медицентър
▲MPC е еднакъв на ▲MRQ е еднакъв на▲MQR по 1пр. =>MP=MQ=MR => т.М е медицентър
Тъй като PRQ е равностр. и ABC също => т.М е медицентър и на двата ▲-ка

[amsara]

▲AMC Е ЕДНАКЪВ НА▲MCB е еднакъв на ▲MAB по 1пр. => AM=CM=BM => т.М е медицентър
▲MPC е еднакъв на ▲MRQ е еднакъв на▲MQR по 1пр. =>MP=MQ=MR => т.М е медицентър
Тъй като PRQ е равностр. и ABC също => т.М е медицентър и на двата ▲-ка

Това маркираното е вярно, ама все пак според мен трябва да се докаже, а не да се приеме ей така директно, поне не на този етап, докато още не сме учили описаната окръжност и нейния радиус.И точно тук се полза теоремата за симетралите.
Отделно докато стигнеш до въпросните еднаквости на 3-те ▲-ка имаш далеч повече да си опишеш от само този първи признак.

[ptj]

С вектори :

Ако т. [tex]M[/tex] е медицентъра на ▲[tex]ABC[/tex], то [tex]\vec {AM}+\vec {BM} +\vec {CM}=\vec{0}[/tex] .
[tex]\vec{PA}+\vec{QB}+\vec{RC}=\frac{1}{3 } \vec{BA}+\frac{1}{3 }\vec{CB}+\frac{1}{3 }\vec{AC}=\frac{1}{3 }( \vec{BA}+\vec{CB}+\vec{AC})=\vec{0}[/tex]
Събираме горните две почленно:
[tex]\vec{0}=(\vec {AM}+\vec {BM} +\vec {CM})+(\vec{PA}+\vec{QB}+\vec{RC})=[/tex]
[tex]=(\vec{PA}+\vec {AM})+(\vec{QB}+\vec {BM}) +(\vec{RC}+\vec {CM})=\vec{PM}+\vec{QM}+\vec{RM}[/tex]
От последното следва, че т.[tex]M[/tex] е медицентър и за ▲[tex]PQR[/tex].

П.П. Нещо повече - доказателството е аналогично, ако точките [tex]P,Q,R[/tex] делят съответно [tex]AB,BC,CA[/tex] в кое да е еднакво съотношение (даже и отрицателно число, т.е. да лежат на продълженията на страните).

[kyimetmehmed]

daden e usporednik ABCD.
To4kite P i Q sa medicentrove na ▲ ABD i BCD. Dokaji 4e :
A) to4kite A P Q C lejat na edna prava
B) to4kata P e sreda na otse4kata AQ
molqvi pomognete