Неравенства между средни

[maria o96]

Това са 2 задачки от неравенства, за които не мога да се сетя как точно се решават. Ако ня кой ги разбира да ми помогне с решенията
1 зад. Да се докаже, че средното геометрично на n положителни числа е по-голямо или равно от
тяхното средно хармонично, ката равенство се достигасама когато числата са равни.
Ето го и упътването:
(Приложете неравенството между средно аритметично и средно геометрично за числата 1 върху а1, 1 върху а2,...,1 върху аn.
Докажете това неравенство директно, като разкриете скобите и използвате, че ai върху aj+aj върху ai е по- голямо или равно на 2)

2зад. Да се докаже, средното квадратично на n реални числа е по- голямо или равно от тяхното средно аритметично, ката разликата от техните квадрати се представи като сума от квадрати. Да се покаже, че равенство се достига само когато числата са неотрицателни и равни.
Ето го и упътването:
[Съобразете,че n(а1 на втора+ а2 на втора+...+аn на втора) - (а1+ а2+...+аn) цялото на втора= (а1-а2) цялото на втора + (а1-а3)цялото на втора +...+(а1- аn)цялото на втора+(а2 - а3) цялото на втора+...+(а2-аn) цялото на втора +...+ (аn-1- аn)цялото на втора.]
Удебелените цифри трябва да са по-малки и в двете задачи
Предварително благодаря за помоща

[ganka simeonova]

От СА-СГ за числата [tex]\frac{1}{a_1 } ,...,\frac{1}{a_n }=>[/tex]

[tex]\frac{1}{a_1 }+..+\frac{1}{a_n }\ge n.\sqrt[n]{\frac{1}{a_1} ...\frac{1}{a_n }}[/tex]

=>[tex]\frac{n}{\frac{1}{a_1 }+...\frac{1}{a_n} } \le \frac{n}{n.\sqrt[n]{\frac{1}{a_1} ...\frac{1}{a_n }} } =\sqrt[n]{a_1...a_n}[/tex]

[ganka simeonova]

Упътването на 2 задача направо ти я решава, само трябва да я разпишеш.
Образуваме разликата от квадратите на СК и СА. Тогава:

[tex]\frac{n(a_1^2+...a_n^2)-(a_1+...a_n)^2}{n^2 } =\frac{(n-1)a_1^2+(n-1)a_2^2+...(n-1)a_n^2-2a_1a_2-2a_1a_3-...-2a_{n-1}a_n}{ n^2}[/tex]=

=[tex]\frac{(a_1-a_2)^2+....+(a_{n-1}-a_n)^2}{ n^2} \ge 0[/tex]

[maria o96]

Благодаря ти за помощта
Ами онова за постигане на равенство как може да се докаже
Или то се подрабира.

[maria o96]

Сега видях и се чудя за 2 задача
[tex]\frac{n(a_1^2+...a_n^2)-(a_1+...a_n)^2}{n^2 } =\frac{(n-1)a_1^2+(n-1)a_2^2+...(n-1)a_n^2-2a_1a_2-2a_1a_3-...-2a_{n-1}a_n}{ n^2}[/tex]=
това го разбрах- вдигаш на втора а после слагаш под общ знаменател , но това:
=[tex]\frac{(a_1-a_2)^2+....+(a_{n-1}-a_n)^2}{ n^2} \ge 0[/tex][/quote]
не ми говори нищо ще ми обясниш ли как стана и защо това да е доказателството "Да се докаже, средното квадратично на n реални числа е по- голямо или равно от тяхното средно аритметично, ката разликата от техните квадрати се представи като сума от квадрати"

[ganka simeonova]

Искаш ли да го направим само за три числа, за да ти стане ясно?
Иначе е логично, да се забъркаш с толкова много числа:)

[maria o96]

Добре

[ganka simeonova]

Ще разпиша само числителя. Когато имаш само три числа=>

[tex]3(x^2+y^2+x^2)-(x+y+z)^2=3x^2+3y^2+3z^2-x^2-y^2-z^2-2xy-2yz-2xz=[/tex]

[tex]=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)=[/tex]

[tex]=(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2[/tex]

[maria o96]

Добре ами ако са повече от 3 как ще стане

[ganka simeonova]

Добре ами ако са повече от 3 как ще стане

По същия начин, както и бях написала в най- горното си решение!

[maria o96]

Ааа добре и много благодаря за всичко